人教A版（2019）必修第一册第五章5.7三角函数的应用（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第五章 5.7 三角函数的应用
一、解答题
1．已知定义在R上的函数的图象如图所示.
（1）写出函数的周期；
（2）确定函数的解析式
2．已知函数满足，其中.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）当时，求的最值.
3．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行，已知圆的半径为8m，圆的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12min爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处．
(1)将蚂蚁距离地面的高度表示为时间的函数；
(2)在蚂蚁绕圆爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14m
4．已知向量，，函数..
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调递增区间.
5．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．
6．已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上.
（1）求数列，的通项和；
（2）令，求数列的前n项和；
7．某公司今年1月份推出新新产品，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：
销售价（元/件） 650 662 720 800
销售量（件） 350 333 281 200
由此可知，销售量（件）与销售价（元/件）可近似看作一次函数的关系.（通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确）试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？求最大利润和此时的销售量.
8．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列，令，为数列的前项和，求证：.
9．清远市某公园要举办一次菊花展，需要对公园进行规划布置.有一块半径为的半圆形草坪，沿矩形摆上菊花，设，矩形的周长为（单位：）.
（1）用表示；
（2）当矩形为正方形时，求此时正方形的周长.
10．如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．
（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；
（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？
11．已知函数的最大值为.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）在坐标系上作出在上的图像，要求标出关键点的坐标.
12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：）由下列关系式决定：，.以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并且回答下列问题：
（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）经过多少时间小球往复振动一次（周期）？
（4）每秒钟小球能够振动多少次（频率）？
13．大学生王某开网店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数（）或（，，）来模拟销量下降期间的月销量.
（1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份之间的函数关系式；
（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？
14．已知．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
15．已知定义在的函数，对任意，恒有成立.
（1）求证：函数是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，求出的解析式，写出它的对称轴的方程.
16．已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)当时，
（i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；
（ii）解关于的不等式.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据图象直接可得周期，（2）先确定一个周期的函数解析式，再根据周期的结果.
【详解】
（1）由图象可得周期
（2）
【点睛】
本题考查函数图象、周期以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（1）； （2）最大值为3，最小值为．
【解析】
【分析】
(1)代入即可得到的值，化简整理，利用周期公式即可得到答案；
（2）当，利用第一问求得的解析式分析可得到最值.
【详解】
解：（1）由，得，解得
所以函数的最小正周期
（2）当时，，
所以的最大值为3，最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查三角函数中周期的计算，最值的计算，意在考查学生的基础知识，难度不大.
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设在时蚂蚁到达点P，表示出以Ox为始边，OP为终边的角，利用三角函数表示出P点的纵坐标为即可；
（2）由（1）知．利用三角函数解不等式即可.
(1)
设在时蚂蚁到达点P，则以Ox为始边，OP为终边的角为，故P点的纵坐标为，则，
所以所求函数关系式为；
(2)
由（1）知．
令，可得，
所以，
解得，
又，所以．
即在蚂蚁绕圆爬行的一圈内，有蚂蚁距离地面不低于．
4．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据结合向量的坐标运算化简即可求解；
（2）由求出的范围，结合函数的增区间通式即可求解
【详解】
解：（1）
.
（2）由得，又
得
∴在上的单调递增区间为
【点睛】
本题三角函数解析式的求法，复合三角函数在给定区间的增减性，属于基础题
5．（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值点，即最值点.
试题解析：解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．
　　
在中，，则
在中，，
由题意易得
因此，
（2）
令，，因为，所以，
设锐角满足，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当，总造价最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】
利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
6．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合题意，化简可得，，可知数列 是以为首项，2为公比的等比数列，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求数列， 的通项公式；
（2），利用错位相减法求和．
【详解】
（1）∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴是首项为，公比为2的等比数列.其通项公式为
∵在直线上，所以，
∴，而
∴是首项为1，公差为2的等差数列
∴.
（2）∵，
∴③
因此④
③-④得：
∴.
【点睛】
本题考查数列的求和，考查等比关系与等差关系的确定及其通项公式，突出考查错位相减法，属于中档题．
7．，当时，最大利润为64516元，销售量为254件
【解析】
【分析】
将，代入，求出函数解析式，再求函数的最大值．
【详解】
解：由题意可得，解得，，
，
设1月份利润为，则，
故销售价定为746元时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时的销售量为254件．
8．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式整理可得：，问题得解.
（2）计算函数的所有正的零点为：，即可求得：，即可求得：，再利用裂项相消法求和可得：，问题得证.
【详解】
（1）因为
所以的最小正周期.
（2）由得，
解得，即，
所以，
所以，
所以
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数式的化简、三角函数周期公式及裂项相消法求数列的前项和知识，考查转化能力及计算能力，属于中档题.
9．（1）；（2）
【解析】
（1）解直角三角形求得，由此求得关于的表达式.
（2）令，由此求得的值，进而求得此时正方形的周长.
【详解】
（1）在中，所以
.
（2）当矩形为正方形时，，，由，以及，解得，所以此时正方形的周长.
【点睛】
本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
10．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由的面积可得，结合余弦定理可得结果.
（2）在中利用正弦定理可得，．从而得到总费用 ．利用导数研究最值即可.
【详解】
（1）因为在中，已知， ，
所以由的面积，
解得．
在中，由余弦定理得：
，
所以．
（2）由，则，．
在中，， ，由正弦定理得，
所以，．
记该计划所需费用为，
则 ．
令，则，
由，得．所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以时，该计划所需费用最小．
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
11．（1），；（2）图像和关键点的坐标见详解.
【解析】
【分析】
（1）先根据两角和公式对函数进行化简整理得═，再根据最大值确定值，结合正弦函数的性质求得函数的最小正周期；
（2）依据图表，分别求得0，，，，，时的函数值，进而描点画出图象．
【详解】
（1）
,
,
∵的最大值为，即，
∴，最小正周期
（2）因为，
故可得其图像上关键点的坐标分别为：
，，，，，
其图像如下所示：
.
【点睛】
作函数图象的方法
（1）作三角函数图象的基本方法就是把看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；
（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位．
12．（1）；（2）2；（3） s；（4）次.
【解析】
【分析】
根据题设应用“五点作图法”确定的图象，（1）将代入关系式求值即可；（2）（3）由所得图象直接判断最高点和最低点与平衡位置的距离、周期；（4）根据（3）所得周期，结合频率为求每秒钟小球能够振动次数.
【详解】
由题设关系式，可得函数在上的图象如下图：
0
2 0 -2
（1）由题设，时.
（2）由图知：最高点为2，最低点为-2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离是2.
（3）由题设，小球往复振动一次需 s.
（4）由（3）知：频率为每秒次.
13．（1）更合理，；（2）24万，第10个月
【解析】
【分析】
（1）分别采用待定系数法，算出和表达式，再检验时是否符合题设即可
（2）列出利润关于的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解
【详解】
（1）假设从第11个月开始，月销量符合的变化趋势，则均在上，即，，对称轴为，当时，不符合题意，故此模型舍去；
假设从第11个月开始，月销量符合的变化趋势，则均在上，即，，当时，，，，
故更合理，此时，；
由题知前10个月符合一次函数模型，设，将代入，解得，则，，故
（2）设前10个月成本（万元）与月份的关系为，将代入解得，则，前10个月利润可表示为，当时取到最大值，；当时，单调递减，第11个月利润有最大值，
；
故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月.
【点睛】
本题考查函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算能力，属于中档题
14．（1），；（2）．
【解析】
（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换，得到，再由，得到，得到，即可求解.
【详解】
（1）由函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以单调减区间．
（2）将函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到，
在纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
因为，可得，则，
可得，则，
所以在上值域为．
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
15．（1）证明见解析，最小正周期为；（2），对称轴方程为（）.
【解析】
【分析】
（1）通过已知可证明得出；
（2）根据周期可得，根据图形可得，由可求得，再根据正弦函数的性质可求对称轴.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以是周期函数，它的最小正周期为.
（2）由（1）知的最小正周期为，，所以，所以.
由题中图象知，所以.
又，
，因为，所以，
所以.
由（），得（），
所以它的对称轴方程为（）.
16．(1)
(2)（i）；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】
(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.
(2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.
(1)
依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得，
所以.
(2)
当时，，
（i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得，
所以实数的取值范围是；
（ii）不等式为，即，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或，
综上可知，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页