人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．4对数函数

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第四章 4．4 对数函数
一、单选题
1．在正方体中，为的中点，为棱上的动点(不包括端点)，过点的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
2．已知,,若,则,在同一平面直角坐标系内的大致图像是
A． B．
C． D．
二、填空题
3．已知两个函数和的定义域和值域都是，其定义如下表：
1 2 3
2 3 1
1 2 3
1 3 2
1 2 3
填写后面表格，其三个数依次为：________.
4．若指数函数的图象经过点，则______.
三、解答题
5．每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”.声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位），定义，其中为声场中某点的声强度，其单位为m2（瓦/平方米）m2为基准值.
（1）如果一辆小轿车内声音是50，求相应的声强度;
（2）如果飞机起飞时的声音是120，两人正常交谈的声音是60，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍
6．已知函数．
（1）求函数的值域：
（2）若函数的图像与函数的图像有交点，请直接写出实数的取值范围．
7．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
8．已知函数f（x）＝loga（x2﹣2），若f（2）＝1
（1）求a的值；
（2）求f（）的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
9．溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH.
10．中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足： ，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：
从下降到所用时间 1分58秒
从下降到所用时间 3分24秒
从下降到所用时间 4分57秒
（I）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值．（精确到0.01）
（II）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
A．　　 B． C．
（参考数据： ， ，，，）
11．已知，.
（1）求在上的最大值(用含a的式子表示)；
（2）任意的，存在，使得，求a的取值范围.
12．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．
（1）每台充电桩第几年开始获利？
（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
13．已知函数．
（1）求的定义域和值域；
（2）写出函数的单调区间．
14．设函数定义域为集合，函数定义域为集合.
（1）求集合和；
（2）已知，满足，且是的充分条件，求实数的取值范围.
15．（1）求值：
（2）已知角的终边经过点，求的值
16．画出函数与的图象，指出这两个函数图象之间的关系，并指出这两个函数性质的相同点与不同点.
17．求函数的反函数．
18．已知函数，（且均不为1，）
（1）当，时，解关于的不等式；
（2）当是三角形的三边长且满足，且时，试判断函数零点的个数，并说明理由.
19．已知函数的反函数是，设，，是图象上不同的三点；
（1）求；
（2）如果存在正实数，使得，，成等差数列，试用表示实数；
（3）在（2）的条件下，如果实数是唯一的，试求实数的取值范围．
20．求函数零点的个数．
21．解下列方程
（1）；
（2）
22．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
（1）指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
23．整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
假设正方体的棱长，根据的长度不同，分类讨论，可得结果.
【详解】
不妨设正方体的棱长为，
当，截面为四边形；
如图
特别的，当时，截面为等腰梯形；
如图
截面为五边形，不可能为六边形.
如图
故选：
【点睛】
本题考查空间几何体的应用，属基础题.
2．B
【解析】
根据，确定，确定与在上的单调性.再判断的奇偶性，即可.
【详解】
由
和在上都为减函数.
定义域为关于原点对称
，即为偶函数.
故选：B
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的图象和性质.属于较易题.
3．3，2，1
【解析】
【分析】
本题可以先通过观察题目所给出的三个表格，明确的值以及对应的的值，最后得出结果．
【详解】
当时，
当时，
当时，
所以其三个数依次为：．
【点睛】
本题在解题中，一定要根据题目所给出的表格中的信息，明确各个值之间的对应关系，然后得出结果．
4．
【解析】
【分析】
设出指数函数解析式，根据指数函数所过的点求解出指数函数解析式，然后再计算的值.
【详解】
设（，且），由于其图象经过点 ，
所以，解得或（舍去），
因此，故 .
故答案为.
【点睛】
本题考查根据指数函数所过点求解指数函数解析式并求函数值，难度较易.
5．（1）；（2）倍．
【解析】
【分析】
（1）直接把代入，求得得结论；
（2）分别求出声音是120和60的声强度，作比得结论．
【详解】
（1）由，得，
即．
故声音是，相应的声强度是；
（2）设声音是的声强度为，
则，即，
设声音是的声强度为，
则，即，
．
前者的声强度是后者的声强度的倍．
6．（1）；（2）或
【解析】
（1）分段讨论去绝对值得出解析式，即可求出值域；
（2）分和两种情况讨论可求出.
【详解】
（1）可得，
当，，当，，
所以函数的值域为；
（2）的定义域为，
当时，，
则当时，单调递减，此时的图像与的图像有交点，满足题意，
当时，要使函数图像有交点，需满足，解得，
综上，或.
【点睛】
本题考查分段函数的值域以及对数图象的应用，解题的关键是正确理解对数函数的图象.
7．(1)10人、20人与180人；
(2)；
(3)至少要花11233元，最多要花16980元.
【解析】
【分析】
（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.
(1)
设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
解得，则.
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
(2)
由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
综上：
(3)
由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.
8．（1）a＝2；（2）4；（3）{x|x＞}
【解析】
【分析】
（1）将x＝2代入函数f（x）＝loga（x2﹣2），根据对数的运算法则可求出a的值；
（2）由（1）可得函数的解析式，将x＝3代入解析式，化简可得结论；
（3）根据不等式f（x）＜f（x+2）建立关系式，注意对数函数的真数大于0这一条件．
【详解】
（1）∵f（x）＝loga（x2﹣2），f（2）＝1，∴f（2）＝loga2＝1，解得a＝2；
（2）由（1）可知f（x）＝log2（x2﹣2），∴f（）＝log2（（3）2﹣2）＝log216＝4；
（3）∵f（x）＜f（x+2），∴log2（x2﹣2）＜log2（（x+2）2﹣2），
即解得x＞，∴不等式的解集为{x|x＞}
【点睛】
本题主要考查了函数求值，以及对数不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题．
9．（1）见解析；（2）7
【解析】
（1）由对数型复合函数单调性说明；
（2）直接代入公式计算．
【详解】
（1）根据对数的运算性质，有，在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小，所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，.所以，纯净水的pH是7.
【点睛】
本题考查对数函数的应用，考查对数函数的单调性．属于基础题．
10．（Ⅰ）；；（Ⅱ）B，理由见解析.
【解析】
（I）先由题中条件，得到，化为，从题中所给数表中选取一组数据，计算值，即可得出结果；
（II）由（I）中，计算“碧螺春”口感最佳所需时间，即可得出结果.
【详解】
（I）由得，
即，．
在环境温度为，选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，即；
选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，
即；
选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，即
故
（II）水煮沸后在室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．
理由如下：
由（I）得，
当时，有．
所以水煮沸后在室温下大约冷却分钟冲泡“碧螺春”口感最佳.
【点睛】
思路点睛：
求解给定函数模型的问题时，一般根据题中所给条件，直接列出等量关系，进行求解即可；解决此类题目要求学生要具备较强的理解和分析问题的能力，以及较强的计算能力.
11．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算性质先化简的解析式，然后利用换元法令，将问题转化为二次函数求最值，按照对称轴与区间的位置关系进行讨论，分别求解最值即可；
（2）将任意的，存在，，使得，转化为，利用换元法研究函数的最值，再结合（1）中的结论，得到的最值，列出不等式，求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）因为
，
所以.
令，，，
函数换元得：，.
二次函数开口向上，对称轴为，
当时，；
当时，.
综上，.
（2）令，，则.
函数换元得：，，
根据函数的单调性，可得.
由任意的，存在，
使得可得：，
所以，或，
解之得：，即所求a的取值范围是.
12．（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元
【解析】
【分析】
（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可．
（2）利用基本不等式求解最大值即可．
【详解】
（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，
设第n年时累计利润为f（n），
f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200
=8100n-n（200n+900）-16200
=-200n2+7200n-16200
=-200（n2-36n+81），
开始获利即f（n）＞0，
∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，
解得，
所以公司从第3年开始获利；
（2）每台充电桩年平均利润为
当且仅当，即n=9时，等号成立．
即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元．
【点睛】
本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
13．（1）定义域为,值域为（2）单调递减区间为，单调递增区间为．
【解析】
【分析】
（1）由真数大于0，根据二次不等式即可求定义域，由二次函数的值域即对数函数的单调性可求函数值域；
（2）根据二次函数的单调性，对数函数的单调性及函数的定义域，即可求出单调区间.
【详解】
（1），
，
解得，
的定义域为．
设，
，
，
的值域为；
（2）是增函数，
而在上递增，在上递减，
的单调递减区间为，单调递增区间为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数，二次不等式，对数函数的单调性，考查了推理运算能力，属于中档题.
14．（1），；（2）.
【解析】
（1）根据对数函数和二次根式的定义求得函数定义域；
（2）求出，根据充分条件可得的范围．
【详解】
（1）由得，即或，解得或，∴，
由，得，，∴．
（2）由（1），，，，
时，，
∵是的充分条件，∴．
【点睛】
本题考查求与对数函数、幂函数有关的函数的定义域，考查由充分条件求参数范围，解题方法是根据定义逐步求解即可．属于基础题．
15．（1）； （2）答案见解析.
【解析】
（1）根据指数幂与对数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）由题意，求得，分和两种情况，结合三角函数的定义，即可求解.
【详解】
（1）根据指数幂与对数的运算法则，可得：
（2）由题意，角的终边经过点，
可得，
当时，可得，
由三角函数的定义可得，所以；
当时，可得，
由三角函数的定义可得，所以；
16．见解析
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象与性质可得答案.
【详解】
解：两函数的图象如下图所示：
因为，所以两个函数的图象关于x轴对称，
相同点：两函数的图象都位于y轴右侧，都经过点，两函数的定义域都为，都不具有奇偶性，值域都是R，
不同点：在单调递增，其图象呈上升趋势，
在单调递减，其图象呈下降趋势.
17．
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质求出原函数的值域，可得反函数的定义域，根据指数与对数的互化关系可得结果.
【详解】
因为，所以，
即原函数的值域是，
所以反函数的定义域是，
由可得,
所以的反函数是，
故答案为:.
18．（1）答案见解析；（2）1个，答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设易知，讨论、，结合指数函数的性质求解即可.
（2）将问题转化为判断解的个数，由对数函数的性质有，结合条件易知函数的定义域为，令得，由的单调性得，进而转化为在上零点的个数，判断的单调性结合零点存在性定理，可知零点的个数，即为零点个数.
【详解】
（1）当，且，则，即，
当时，即解集为；当时，即解集为.
（2）函数的零点有1个；
当时，则有，，
∴零点的个数，即解的个数，
显然即，而，故，
∴，即函数定义域，
令，则，可得，
∵，令则在定义域上单调增，
∴，故，，
令，又，
∴为定义域上的减函数，又是三角形的三边长，即，
∴，而，
令，故，则必有，
由上，是单调减函数且连续，所以的零点有且只有1个，即：函数的零点只有1个.
【点睛】
关键点点睛：第二问，由题设问题等价于求解的个数，根据对数的性质易知定义域，令得，由的单调性可得，进而将问题转化为在上零点的个数.
19．（1）； （2），； （3）或．
【解析】
【分析】
（1）根据反函数的求法即可得反函数；
（2）根据等差中项关系列出等式，即可表示；
（3）将问题转化为在上由唯一解，利用方程的根的问题解决.
【详解】
（1）由，解得，把与互换可得：；
（2），，，
，，成等差数列，
，化为，
解得，．
（3）由，化为在上有唯一解．
当时，解得，这时方程有唯一解，满足条件．
当时，方程的一个根大于，另一个根小于（不可能出现一个根等于的情形），记，
只需即可，解得．
综上可得：或．
【点睛】
此题考查求反函数，结合等差中项关系建立等式解对数方程，利用根的分布解法解决方程的根的问题，综合性较强.
20．有两个零点
【解析】
【分析】
当时，根据方程即可求出零点；当时，根据函数的单调性，结合零点存在性定理，可得在上有且仅有一个零点，即可得答案．
【详解】
：当时，得，∴在时有一个零点；当时为增函数且在上连续，，，∴在有唯一零点综上可知在R上有两个零点．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，分别进行求解是解决本题的关键，属基础题．
21．（1）或（2）或
【解析】
（1）首先令，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.
（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根.
【详解】
（1）令，，得.
整理得：.解得：或.
即：或，或.
（2）因为，所以.
解得：或，或.
【点睛】
本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.
22．（1）C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数与对数函数的图象与性质，即可得到答案；
（2）根据给定的图象，即可比较，的大小关系，得到结论．
【详解】
（1）C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx．
（2）当时，；
当时，；
当时，．
23．图见解析，单调增区间：，；单调减区间：，.
【解析】
依题意得到函数的大致图象，结合图象分析单调性.
【详解】
解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示.
单调增区间：，；单调减区间：，.
【点睛】
本题考查函数图象以及函数的单调性及应用，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页