人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．5函数的应用（二）（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第四章 4．5 函数的应用（二）
一、解答题
1．利用计算器，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．
2．若，解关于x的不等式：.
3．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势；
（2）研究人员用函数拟合该地的人口数量，其中的单位是年，2014年年初对应时刻，的单位是千人，经计算可得，请解释的实际意义.
4．如图，正方体的棱长为2，分别是和的中点．
（1）求证：平面．
（2）求M到平面的距离．
5．用二分法求函数 在区间内的一个零点（精度为0.1）.
6．已知函数，.
(1)求函数单调性；
(2)求函数最大值和最小值.
7．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.
(2)若，为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“2021重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围（无需解答过程）.
8．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少
参考公式：
9．计算下列各式的值：
（1）
（2）.
10．分别求函数的定义域为下列区间时的最值:
(1)；
(2)；
(3).
11．若常数使得关于的方程有唯一解，求的取值范围．
12．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设三点均在椭圆上，为坐标原点，，证明：四边形的面积为定值.
13．如图，矩形的两条对角线交于，边所在直线的方程为，点在边所在直线上.
=
（1）求边所在的直线方程；
（2）求点的坐标以及矩形外圆的方程.
14．已知
（1）求函数在的极值.
（2）证明：在有且仅有一个零点.
15．（1）求函数的值域；
（2）已知，求的解析式．
16．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
17．（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.
（1） （2） （3）
18．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：
月份 7 8 9 10 11 12
销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5
销售量（元） 11 10 8 6 5 14
（1）根据7至11月份的数据，求出关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考数据：，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）讨论在上的零点个数.
20．求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).
21．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．．
【解析】
【分析】
根据函数的单调性以及零点存在性定理判断方程解所在区间，然后使用二分法求方程近似解的步骤依次计算，可得结果.
【详解】
令，可知函数是连续的单调递增的函数
，．
所以可知方程的在区间内
利用二分法，列表如下：
区间 中点值 中点的函数值
2.5
2.75 0.189332693
2.625 0.044129307
2.5625
∵，
故方程的近似解．
【点睛】
本题考查零点存在性定理以及利用二分法求解方程的近似解，着重对概念的掌握以及步骤的理解，属基础题.
2．详见解析
【解析】
【分析】
化分式不等式为整式不等式，然后对与，的大小关系分类讨论，利用穿针引线法即可求出不等式的解集.
【详解】
原不等式可化为，
(1)当时，原不等式的解集为；
(2)当时，原不等式的解集为；
(3)当时，原不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法及穿针引线法在解不等式中的应用，同时考查分类讨论的思想，属于中档题.
3．（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）
【解析】
（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；
（2）根据函数的表达式及题意，可得表示2014+t年的人口数量，不难得到的实际意义．
【详解】
（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：；
从2015年到2016年该地的人口增长数量：；
从2016年到2017年该地的人口增长数量：；
从2017年到2018年该地的人口增长数量：；
从2018年到2019年该地的人口增长数量：；
故2016年到2017年的人口的增长数量最大.
2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势.
（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.
（2）由题意，2014年年初对应时刻，表示2014+t年的人口数量，
，表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，
故其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人.
或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.
【点睛】
本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题.
4．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，证明四边形是平行四边形即可得出，故平面；（2）根据求出M到平面的距离．
【详解】
解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）解：连接，
则，
又，
∴，∴．
∴，
设M到平面的距离为d，则，
∴．即M到平面的距离为．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
5．1.3125.
【解析】
【分析】
由零点的存在定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于0.1为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点.
【详解】
∵，
，
∴函数在区间内存在零点，取区间作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 区间中点 中点函数值（或近似值）
（1，1.5） 1.25 -0.297
（1.25，1.5） 1.375 0.225
（1.25，1.375） 1.3125 -0.052
（1.3125，1.375） 1.34375 0.083
∵，
∴函数的零点落在区间内，
故函数零点的近似值可取为1.3125.
【点睛】
本题主要考查二分法求函数的零点，熟记二分法的一般步骤即可，属于常考题型.
6．(1)函数在区间上为增函数；
(2)最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的性质可判断函数的单调性；
（2）利用函数在区间上为增函数，由此求得函数的最值.
(1)
二次函数，对称轴为y轴，开口向上，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在区间上为增函数，
(2)
由函数在区间上为增函数，
，.
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
7．(1)是的“n重覆盖函数”，；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，得出对于任意，都能找到一个，使得，即得证；
（2）将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解；
（3）将题转化为对于任意，要有2021个根，根据取整函数的性质列出不等式求解即可.
(1)
（1），
由定义可得，对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中），
即，可得，
所以对于任意，都能找到一个，使得，
是的“n重覆盖函数”，；
(2)
（2）可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），
，，
即，
即对任意，有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，要仅有1个根，
需满足，解得
综上，实数的取值范围是；
(3)
（3），
对于任意，要有2021个根，
，
作出函数的图像，如下图：
要使有2021个根，需，
又，解得
所以正实数的取值范围
【点睛】
关键点睛：本题考查函数新定义，解题的关键是正确理解“n重覆盖函数”的概念，将题目转化为方程根的问题，考查学生的分析转化能力，数形结合能力，属于难题.
8．（1）；（2）万元
【解析】
【分析】
（1）先求出样本中心点及代入公式求得，再将代入回归直线求得的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝10，求得y值得答案．
【详解】
（1）由题表数据可得，
由公式可得，
即回归方程是.
（2）由（1）可得，当时，；
即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是万元.
【点睛】
本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．
9．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】
（1）原式＝
＝
＝
＝
（2）原式＝
＝
＝＝
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
10．(1)最小值-9,最大值91(2)最小值7,最大值27(3)最小值-8,最大值0
【解析】
由二次函数性质可确定函数在所给区间内的单调性，结合单调性确定最值点，代入即可求得所求最值.
【详解】
是开口方向向上，对称轴为的二次函数
在上单调递减，在上单调递增
（1）当时，在上单调递减，在上单调递增
，
（2）当时，单调递增
，
（3）当时，单调递减
，
【点睛】
本题考查二次函数最值的求解问题，关键是明确二次函数最值的求解必须关注对称轴的位置；当对称轴位于所给区间内时，则函数在对称轴处必取得一个最值，另一个最值在离轴较远的区间端点处；当对称轴不位于所给区间内时，则函数为单调函数.
11．
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出关于、的等式，可得出在时有唯一解，数形结合可得出结果.
【详解】
由，解得或.
由已知可得，可得，
所以，在时有唯一解 ，
作出函数在的图象如下图所示：
因为，，
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有且只有一个交点，
因此，实数的取值范围是.
12．(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由题意，得.（2）由题意，设，，，， ，，.
试题解析：
（1）由已知可得，，，联立解得，，，
∴椭圆的方程为.
（2）当轴时，方程为，此时.
当与轴不垂直时，设，，.
将代入方程整理得，，，
，∴ ，
将代入方程整理得，∴，，
，
原点到直线的距离，∴.
∴四边形的面积为定值3.
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系．联立直线和椭圆方程，得到韦达定理，，由向量可知，，代入椭圆方程得，由，分别求出和，得到面积为定值3.
13．（1）；（2），外接圆的标准方程为..
【解析】
（1）先求出直线的方程为 ，设直线的方程为，利用到直线的距离与到直线的距离相等可求的值．
（2）利用（1）求出的的直线方程和直线的方程联立，可求的坐标，求出半径的长度后可求圆的标准方程．
【详解】
设直线的方程为：，因直线过点，
故即，故的直线方程为：．
设直线的方程为：，因为为矩形对角线的交点，
故，故（舍）或．
所以的方程为：．
（2）由得，故，
所以，
故外接圆的标准方程为：．
【点睛】
本题考查直线方程、圆的方程，注意求直线方程时可依据平行或垂直作合理假设，如果已知直线，则与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为．求圆的方程时，要注意利用圆的几何性质，如：（1）圆心与圆上的一点的连线的长为半径；（2）圆心在弦的中垂线上；（3）圆心在过切线且垂直于切线的直线上；（4）圆关于直径成轴对称图形．
14．（1），无极小值；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，并求出该函数的极值点，分析函数在极值点左右两边的单调性，确定极值的属性，然后将极值点代入函数的解析式可得出答案；
（2）首先考查，利用导数研究函数在该区间上的单调性，并确定和的正负，结合零点存在定理来得出函数的零点个数；
其次考查，利用放缩法得出可知函数在该区间上不存在零点．
结合上述两个步骤证明结论．
【详解】
（1），
令，得，又，故.
令，得；令，得．
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故；无极小值.
（2）当时，，，于是，
此时，函数单调递减，
，
，
由函数零点存在性定理知，函数在上有且只有一个零点．
当上，．
综上所述，函数有且只有个零点．
【点睛】
本题考查函数的极值与导数、函数的零点个数问题，一般而言，对于不带参数的函数零点个数问题，要利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理确定零点个数，是解决函数零点个数的常用方法，考查推理论证能力以及分析问题的能力，属于难题．
15．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意设，求出的范围和的表达式，代入化简后，根据一元二次函数的性质和的范围，求出函数的值域；
（2）令代换代入原方程化简，与原方程联立后求出的解析式．
【详解】
（1）设，则，，
代入得，
，
图像为开口向下，对称轴为的抛物线
因为，所以函数的最大值是1，即函数的值域是；
（2）由题意得，，①
令代换，代入得，，②
由①②联立方程组，解得．
【点睛】
本题考查了换元法求函数的值域和列方程组求函数的解析式等问题，以及一元二次函数求最值的方法，属于中档题．
16．（1）；（2）48.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形相似，可得函数得解析式与定义域；
（2）表示出面积，结合二次函数得性质即可求出最大值.
【详解】
解 （1）如图所示，延长NP交AF于点Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.
在中， ，所以.
所以，定义域为.
（2）设矩形BNPM的面积为S，
则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.
17．
【解析】
从图象可以看出，有两个解，一个在上，一个在上，可用二分法求解．
【详解】
记，计算，，，
，，，，，近似解取，
，，，，，近似解取，
故估算范围是
【点睛】
本题考查指数函数的图象，考查二分法求近似解．属于基础题．
18．（1）；（2）可以认为所得的回归直线方程是理想的；（3）该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大．
【解析】
（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想；
（3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．
【详解】
（1）因为，，所以，则，
∴关于的回归直线方程为
（2）剩余数据为12月份，此时，，现进行检测，当时，
，则，所以可以认为所得的回归直线方程是理想的．
（3）令销售利润为，则
．
∴当时，取最大值．
所以该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大．
【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系，如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先确定单调性，然后求导数，再通过讨论的范围，确定的符号，从而确定单调性.
（2）根据的单调性，分别讨论当时，在上的单调性，从而确定在区间两端点的函数值符号以及最值的符号，结合零点存在性定理，即可判断在上的零点个数情况.
【详解】
解：（1）函数的定义域为..
当时，即，，在上单调递增，
∴在上单调递增.
当时，即，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，则由（1）知
①当时，即，当时，，在单调递减
，
∴当，即，时，在上恒成立，
∴当时，在内无零点.
当，即，时，，
根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，
∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.
②当时，即，当时，，在单调递增，
，.
∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.
∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.
当时，，∴此时，在无零点.
③当时，即，当时，；当时，；
则在单调递减，在单调递增.
∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.
∴综上所述：
当时，在内有1个零点；
当时，在有一个零点；
当时，在无零点.
【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判断以及零点个数问题，属于难题.函数单调性问题主要运用导数法进行讨论.而判断函数零点个数的方法有：
（1）解方程法：若对应方程可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点.
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像交点个数问题，先画出两个函数的图像，再看其交点的个数，其中交点个数就是函数零点的个数.
20．0.4385.
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象，求得方程解存在的区间以及解的个数，再利用二分法，结合精确度即可求得结果.
【详解】
原方程可化为3x+1=0，即3x=1.
令g(x)=3x，h(x)=1，
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1的简图.
g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(1，0)，且只有一交点，
故原方程只有一个解x=x0.
令f(x)=3x+=3x+1，
因为f(0)=11+1=1>0，
f(0.5)=2+1=<0，
故x0∈(-0.5，0).
用二分法求解列表如下：
中点值 中点(端点)函数值及符号 选取区间
f(-0.5)<0，f(0)>0 (-0.5，0)
-0.25 f(-0.25)≈0.426 5>0 (-0.5，-0.25)
-0.375 f(-0.375)≈0.062 3>0 (-0.5，-0.375)
-0.437 5 f(-0.437 5)≈-0.159 3<0 (-0.437 5，-0.375)
因为|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1，
故原方程的近似解可取区间(-0.437 5，-0.375)中的任意一个数，
本题中不妨取0.4385.
【点睛】
本题考查利用二分法求方程的近似根，注意精确度的限制即可，属基础题.
21．0.687 5
【解析】
【分析】
根据题意，设函数，分析可得(1)，函数在区间上有零点，由二分法依次分析即可得答案．
【详解】
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，
f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b) 中点c f(a) f(b)
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.6875 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.6875)<0
由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687
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