人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第五章5.1任意角和弧度制（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第五章 5.1 任意角和弧度制
一、解答题
1．用一根长为的绳索围成一个圆心角小于且半径不超过的扇形场地，设扇形的半径为，面积为.
（1）写出关于的函数表达式，并求出该函数的定义域;
（2）当半径和圆心角为多大时，所围扇形的面积最大，并求出最大值;
2．已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线经过焦点且斜率为1，设直线与抛物线相交于、两点，求线段的长．
3．将下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π， k∈Z)的形式，并判断其所在象限．
（1） ；（2） －1485°．
4．为检测学生的体温状况，随机抽取甲，乙两个班各10名同学，测量他们的体温（单位0.1摄氏度）获得体温数据的茎叶图，如图所示．
（1）计算乙班的样本平均数，方差；
（2）现在从甲班中随机抽取两名体温不低于36.5摄氏度的同学，求体温为37.1摄氏度的同学被抽到的概率
5．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
6．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限．
（1）﹣1725°；
（2）﹣60°+360°k（）．
7．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角的大小；
(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
8．已知函数（为自然对数的底,为常数）.
（Ⅰ）讨论函数的单调性;
（Ⅱ）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.
9．已知.
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来.
10．已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
11．如图，扇形的周长为6，，为内一点，且，的延长线交于点，设.
（1）求扇形的面积；
（2）用表示.
12．已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l．
13．（1）把－1480°写成的形式，其中；
（2）在内找出与角终边相同的角.
14．已知角.
（1）将改写成的形式，并指出是第几象限角；
（2）在区间上找出与终边相同的角.
15．在平面直角坐标系中,集合中的元素所表示的角的终边在哪些位置
16．如图，在长方体中，，，点E是线段AB的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
17．在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）已知曲线的参数方程为(为参数)，曲线与圆交于两点，求圆夹在两点间的劣弧的长.
18．已知数列的前n项和分别为，且对任意，恒成立．
(1)若，求；
(2)若对任意都有及成立，求正实数的取值范围；
(3)若，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19．已知分别是的内角的对边，，
(1) 求角的大小；
(2) 若，求面积的最大值．
20．如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.
21．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上.
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.
22．如图所示的是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，B点的位置将移至何处？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设扇形的弧长为，则，由题意可得，根据扇形面积公式即可得函数解析式和定义域；（2）由（1）和可得，根据二次函数的性质可得可得当扇形半径为，圆心角为时，所围扇形场地面积最大.
试题解析：（1）设扇形弧长为，则，，由，得，从而 .
（2），，从而当时，，此时，，圆心角，答：当扇形半径为，圆心角为时，所围扇形场地面积最大，最大面积为.
2．（1）；（2）
【解析】
（1）由焦半径公式可得参数，从而得抛物线方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后用韦达定理得，由焦点纺弦长公式可求得弦长．
【详解】
（1）由焦半径公式可得∵，∴，∴．
（2）由（1）可知，设直线为．联立可得
所以，可得，则相交弦长．
【点睛】
本题考查求抛物线的标准方程，考查求抛物线的焦点弦长．掌握焦半径公式是解题关键．
3．（1），它是第一象限角；（2） －5×2π＋，它是第四象限角．
【解析】
【分析】
（1） 由可得答案．
（2）由－1485°＝－5×360°＋315°可得答案.
【详解】
解：（1） ，它是第一象限角．
（2）－1485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角.
4．（1）36.3；0.134；（2）0.5.
【解析】
【分析】
(1)根据茎叶图读出数据,由平均数、方差的计算公式,计算可得答案;(2)根据茎叶图可得,甲班中有一人体温为37.1摄氏度,记为a,有3名同学体温36.5到37.1之间,记为b、c、d,其;用列举法列举从这四人中抽取两人的情况数目以及a被抽到的情况数目,由概率的计算公式计算可得答案.
【详解】
(1)乙班的平均体温为
，
方差为
；
(2)根据茎叶图可得,甲班中有一人体温为37.1摄氏度,记为a,有3名同学体温36.5到37.1之间,记为b、c、d,其;
从这四人中抽取两人的情况有:,共6种;
其中a被抽到的情况有,共3种;
则体温为37.1摄氏度的同学被抽到的概率为.
【点睛】
本题考查等可能事件的概率和平均数、方差的计算,计算平均数时注意用简便方法.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
5．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1）利用扇形的弧长公式和面积公式可以直接求值；
（2）由已知得，l＋2R＝20，而S＝lR＝－(R－5)2＋25，利用二次函数的图像性质求最值即可.
详解：(1)α＝75°＝， l＝12×＝5(cm)．
所以S=lR=30(cm2)
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10(cm)，α＝2 rad.
点睛：本题考查扇形的弧长公式和面积公式，考查了逻辑推理能力及计算能力，是基础题．
6．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】
利用终边相同的角的关系把给定的角转化到到之间的角，从而可判断终边的位置.
【详解】
解：（1）化为弧度制为，
因为 ，而为第一象限角，
所以﹣1725°为第一象限角.
（2）﹣60°+360°k（）互为弧度制为，
因为为第四象限角，故﹣60°+360°k（）为第四象限角.
7．(1)
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
(1)
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
(2)
因为，所以，
．
又，
所以．
8．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）当时，得在上单调递增，再分和两种情况讨论，即可求解函数的单调性；
（Ⅱ）把存在恒成立，转化为恒成立，进而只需判断是否恒成立，设出新函数，利用导数得到函数单调性和最值，即可求解实数的值．
试题解析：
（Ⅰ）当时,,则在上单调递增
当时,,令
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递减,在单调递增
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递增,在单调递减
综上,当时,在R上单调递增;当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减
（Ⅱ）若存在,则恒成立,令,则,则
恒成立即恒成立,由得
现在只需判断是否恒成立
设,则,令
且当时,;当时,
则在处取得最小值,且
则恒成立,即证恒成立
故存在分界线,且,,
9．（1），第四象限的角；（2），，，.
【解析】
（1）利用终边相同的角的表示方法，把角写成的形式，然后可得到是第几象限的角；
（2）利用终边相同的角的表示方法，通过的取值，求出
【详解】
（1），，
把角写成的形式为：，
它是第四象限的角.
（2）与的终边相同，
令，，
，
当，0，满足题意，
得到，
10．当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
【解析】
【分析】
设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为，可得，由，，可得的范围，根据二次函数的性质求得面积的最大值，再由可得面积取得最大值时的圆心角.
【详解】
设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为.
由已知，可得，
所以扇形的面积，
因为，，所以，
所以当时，，此时， 所以，
故当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
11．（1）2;.（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据周长为6得，根据得，解得，最后代入扇形面积公式（2）先根据条件求，再根据交点D列等量关系：，即，解出t，即得
试题解析：（1）设扇形的半径为，弧长为
由题意知，
∴
∴扇形的面积.
（2）由已知，
可得
即，
∴
设，
则
∴，解得
∴.
12．π(cm)
【解析】
【分析】
由已知扇形的圆心角，弦长AB=12cm，可得半径 ，利用弧长公式即可得出．
【详解】
解：设扇形的半径为r cm，如图，
由sin60°＝ ，得r＝ (cm)，∴.
【点睛】
本题考查了弧长与扇形的面积计算公式，属于基础题．
13．（1）；（2）72°，432°.
【解析】
【分析】
（1）首先将－1480°化成弧度制，之后再将其化为的形式，得到结果；
（2）首先将化为角度制，再找出内终边相同的角，得到结果.
【详解】
（1）∵，
而，且，∴.
∴.
（2）∵，
∴终边与角相同的角为，
当时，；当时，.
∴在内与角终边相同的角为72°，432°.
【点睛】
该题考查的是有关角的问题，涉及到的知识点有弧度制与角度制的转化，终边相同的角的求解，属于基础题目.
14．（1），是第一象限角；（2），.
【解析】
（1）先化为，再化为弧度制，即可得到答案；
（2）由 ，确定整数的值即可得到答案.
【详解】
（1）∵,∴.
又，所以与终边相同，是第一象限角.
（2）与终边相同的角可以写为,∵,∴或.当时，；当时，
【点睛】
本题考查了角度制化弧度制，考查了终边相同的角的表示，属于基础题.
15．在坐标轴上
【解析】
分别讨论为偶数，奇数的情况，代入即可求证.
【详解】
在S中,当时,,此时的终边在x轴上.
当时,,
此时的终边在y轴上,
故集合S的元素所表示的角的终边在坐标轴上.
【点睛】
本题主要考查了终边在坐标轴上的角，属于容易题.
16．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
由已知可得平面ABCD，得到求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面从而得到；由底面ABD，得 到平面AEC的距离为再求出三角形AEC的面积，则三棱锥的体积可求．
【详解】
证明：平面ABCD，平面ABCD，．
在中，，，，
同理，则有，
，即，
又，平面．
又平面，
；
解：底面ABD，
到平面AEC的距离为．
，
从而．
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查棱锥的体积公式的应用，是中档题．
17．（1）.（2）.
【解析】
（1），代入，即可得到圆的直角坐标方程；
（2）通过消参可得曲线的普通方程为，则联立方程，可求出，，由，可求出劣弧的圆心角为，进而可求弧长.
【详解】
（1）解：因为，则，
整理得，，所以圆的直角坐标方程为.
（2）解：曲线的普通方程为，由题意知，当时，的交点为，
即 ，解得，，即，当时，的交点为，
即，解得，，即，由（1）知，
圆心，半径.，则，
则，所以劣弧的长为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角.
18．(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）由数列的递推关系，可得因为，故是以2为首项，1为公差的等差数列，进而利用等差数列的求和公式可得；
（2），可得，，．，利用“裂项求和”方法即可得出；
（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，进而利用数列的函数特征，分类讨论，进而得出答案．
(1)
解：当时，；
当时，．
而满足上式，所以．
因为，
故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以；
(2)
解：依题意得，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，
又，故，
所以，
即恒成立，即恒成立，
所以；
(3)
解：假设存在正整数，
使得成等差数列，则．
由于当时，，所以数列单调递减．
又，所以且q至少为2，
所以．
再考查：
①当时，，又，
所以，等式不成立．
②当时，，所以，
所以单调递减，解唯一确定
综上可知：
19．(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）由正、余弦定理即可求解．
（2）由基本不等式与三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
因为，所以；
（2）因为，并由（1）得，
所以，所以，
当时取等号，所以
所以的最大值是.
【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式及基本不等式，运用基本不等式时，注意验证等号成立的条件．
20．最大的负角为，绝对值最小的角为
【解析】
【详解】
试题分析：根据任意角定义即可求解.
试题解析：
在到范围内，由几何方法可求得.
∴.
其中最大的负角为，绝对值最小的角为.
21．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；
（2）设定点坐标，，表示出圆的方程，当为变量时，，能使该等式恒成立，即且，解方程组可得定点坐标．
【详解】
（1）因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为.
又因为动圆经过坐标原点，
所以动圆的半径，所以半径的最小值为.
并且此时圆的方程为：.
（2）设定点坐标，，因为圆的方程为：
所以，
即，
因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，
所以只可能且
即解方程组可得：，或者，（舍去）
所以圆恒过一定点，.
22．
【解析】
【分析】
根据周期的性质可得点将移至的点.
【详解】
根据函数的图象可得从点移至点需一个周期，
故经过一个周期后，B点的位置将移至.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页