人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第五章5.2三角函数的概念（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第五章 5.2 三角函数的概念
一、解答题
1．已知m，n∈R，证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
2．计算下列式子的值：
（1）sin230°＋cos230°；
（2）sin245°＋cos245°；
（3）sin290°＋cos290°，由此你能得出什么结论？尝试证明它．.
3．确定下列各值的符号.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4．（1）化简求值：；
（2）若，，求的值.
5．求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．化简．
7．若集合，，则________.
8．设向量，，其中，，且与互相垂直.
（1）求实数的值；
（2）若，且，求的值.
9．计算
(1)；
(2)
10．如图，有一位于处的台风预测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一台风中心正以匀速直线移动，分钟后又测得该台风中心位于预测站北偏东，且与预测站相距海里的处.已知，为锐角.
（1）求该台风中心移动的速度（海里/小时）；
（2）在离预测站的正南方有半径为海里的圆形小岛，其中心距离处海里，如果台风中心移动速度和方向均不改变，则该小岛是否会受台风影响？若小岛受影响，则受影响时间是否超过分钟？请说明理由.
11．已知，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
12．已知复数，，为虚数单位，，，，且．
（1）若且，求的值；
（2）设，已知，求．
13．已知圆与直线交于两点.
（1）求弦的长度，扇形（劣弧部分）的面积；
（2）若分别是的终边与圆的交点，求的值.
14．已知角的终边上有一点，且．
（1）求实数m的值；
（2）求，的值．
15．已知.
（1）化简.
（2）若为第三象限角，且，求的值.
16．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4acosx.
(1)若a=1，求的值；
(2)求函数f(x)的最大值g(a).
17．证明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
18．求函数的值域.
19．已知角的终边过点.求：
（1）；
（2）.
20．判断以下说法是否正确(均指在平面直角坐标系中,始边在x轴正半轴上).
(1)第一象限角一定是锐角; (2)终边相同的角一定相等;
(3)小于的角一定是锐角; (4)钝角的终边在第二象限.
21．设.
（1）若锐角满足，问：是否为方程的解？为什么？
（2）求方程在区间上的解集.
22．（1）已知，且为第四象限角，求和的值；
（2）已知，求和的值.
23．填表：
角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
角的弧度数
24．在中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设，，．
（1）求b的值；
（2）求的面积．
25．已知角终边上一点P（异于原点）与x轴的距离和与y轴的距离之比为4∶3，且，求的值.
26．如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.
（1）若点的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
27．已知 求：
（1）的值；
（2）的值．
28．已知，，且，求的值.
29．（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.
30．求证：
（1）；
（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【解析】
【分析】
根据必要条件和充分条件的定义证明.
【详解】
①(必要性)∵m2-n2=1，
∴m2=n2+1，
∴m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，
∴m4-n4=2n2+1成立;
②(充分性)∵m4-n4=2n2+1，
∴m4=n4+2n2+1=，
∴m2=n2+1，即m2-n2=1，
∴m2-n2=1成立.
综上，m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
【点睛】
本题主要考查逻辑条件的证明，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
2．3个式子的值均为1，可猜想，对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，证明见解析
【解析】
【分析】
由特殊角的三角函数值计算出上述三个式子的值，再根据任意角的三角函数的定义证明即可；
【详解】
解：
上述3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角，有，下面用三角函数的定义证明：
设角的终边与单位圆的交点为，则由三角函数的定义，得，.
∴.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题.
3．（1）；（2）；（3）；（4）；
【解析】
（1）是第三象限角，直接判断的符号；
（2）是第四象限角，直接判断的符号；
（3）根据，判断和的终边相同，判断的符号；
（4）由，可知和的终边相同，判断的符号.
【详解】
解：（1）因为是第三象限角，所以.
（2）因为是第四象限角，所以.
（3）由，可知是第一象限角，所以.
（4）由，可知是第三象限角，所以.
【点睛】
本题考查由角的象限，判断三角函数的符号，意在考查基础知识，属于简单题型.
4．(1)；(2)-1.
【解析】
【分析】
(1)利用三角函数诱导公式化简，再借助特殊角的三角函数值计算即得；
(2)根据给定条件讨论函数值符号，再去绝对值及算术根计算即得.
【详解】
(1)
；
(2)因，则在R上单调递减，而，于是得，
，
所以.
5．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
6．1
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式、同角三角函数的关系化简即可
【详解】
解：原式
．
7．
【解析】
分别解和，对集合和集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.
【详解】
集合：，
或，.
集合：，，.
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据三角函数的值求角，特殊角的三角函数值，集合的交集运算，属于简单题.
8．（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由与互相垂直可得，展开化简即得.（2）由，得..，最后求 .
【详解】
解：（1）由与互相垂直，可得，
所以.
又因为，所以.
因为，所以，所以.
又因为，所以.
（2）由（1）知.
由，得，即.
因为，所以，
所以.
所以，
因此 .
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据指对数的运算法则，计算即可得答案.
（2）根据三角函数的周期性，结合特殊角的三角函数值，即可得答案.
(1)
=.
(2)
10．（1）海里/小时；（2）小岛受台风影响，超过分钟，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用余弦定理求出的长，进而可求得该台风中心移动的速度；
（2）计算出的长，可得出的长，可计算出点到直线的距离，结合题意可知小岛受台风影响，然后利用勾股定理以及物理知识可求得小岛受台风影响的时长.
【详解】
（1）因为，为锐角，则，解得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，（海里），所以，（海里/小时）；
（2）由余弦定理可得，则为锐角，
所以，，
，
在三角形中，由正弦定理，得（海里），
所以，（海里），
过作垂直于交于（见题图），
则，则，所以，小岛受台风影响.
小岛受台风影响时间记作小时，.
所以小岛受台风影响时间超过分钟.
11．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的平方关系求出，再利用二倍角公式代入即可得出答案；
（2）利用（1）的结果，同角的商数关系及两角和的正切公式及可得解.
(1)
，且，则．
．
所以
所以
(2)
由（1）知，，
所以．
所以．
12．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1），．，利用复数相等可得，，进而得出．
（2）．，利用复数相等可得，，，根据，结合诱导公式、倍角公式即可得出．
【详解】
解：（1）因为，且，所以，所以，又，
所以，得到．因为，所以，所以或，
所以或．
（2）由（1）知，，由得，而．
13．(1)(2)
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离及垂径定理,即可求得.进而可知,利用扇形的面积即可求出扇形（劣弧部分）的面积;
设,利用三角函数定义可得:,
联立,消去得:借助韦达定理即可求出.
【详解】
(1)因为圆的圆心到直线的距离,圆的半径为,所以.可知,扇形（劣弧部分）的面积
(2)设由三角函数定义可得:,
,消去得:,
则,所以
【点睛】
本题考查直线与圆的关系,并考查垂径定理,扇形面积公式,三角函数定义在直线和圆综合题中的运用,难度一般.
14．（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由可得解；
（2）分和两种情况，利用三角函数的定义直接求解即可.
【详解】
（1）由三角函数的定义有，，
解得．
故实数m的值为．
（2）①当时，，，
②当时，，．
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用诱导公式即可化简求出；
（2）由诱导公式可求得，再根据同角三角函数关系求出即可.
【详解】
解：（1）；
（2）若为第三象限角，且，∴，
∴.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接代入数据计算得到答案.
（2）化简得到，设，得到新函数，考虑函数的对称轴大于等于零和小于零两种情况，分别计算最值得到答案.
(1)
当时，，
.
(2)
.
设，，故，函数对称轴为.
当，即时，；
当，即时，；
故.
17．(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解
(4)证明见详解
(5)证明见详解
(6)证明见详解
【解析】
【分析】
（1）将左边的完全平方打开，利用同角三角函数关系和正弦的二倍角公式，即得证；
（2）将左边的代数式通分，结合正切的二倍角公式，即得证；
（3）将左边用正切的和角公式打开，结合正切的二倍角公式，即得证；
（4）将左边替换代入，再结合正弦的二倍角公式，即得证；
（5）利用正弦、余弦的二倍角公式将左边展开，化简可得，上下同除以，结合，以及正切的和角公式，即得证；
（6）先将左边的正切用正弦、余弦表示，通分化简，再结合正弦、余弦的二倍角公式，即得证
(1)
证明：左边==右边
(2)
证明：由正切的二倍角公式：
左边==右边
(3)
证明：左边=
=右边
(4)
证明：左边==右边
(5)
证明：
=右边
(6)
证明：
=右边
18．
【解析】
本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．
【详解】
解：由题意，角x的终边不在坐标轴上
当x为第一象限角时，各三角函数值全为正，.
当x为第二象限角时，只有正弦值为正，，
当x为第三象限角时，只有正切值为正，，
当x为第四象限角时，只有余弦值为正，，
所以所求函数的值域为.
【点睛】
本题考查三角函数值的符号，考查函数的值域，本题是一个比较简单的综合题目，属于基础题.
19．（1）； （2）
【解析】
【分析】
（1）由三角函数定义，即可求出.
（2）由三角函数定义，求出，再用正切的二倍角公式求出，最后利用两角和与差的正切公式，即可得出结果.
【详解】
已知角的终边过点，则，则，
（1）可得：，
（2）可知，，
而，
则.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，还运用正切的二倍角公式以及两角和与差的正切公式，需要识记相关的公式.
20．（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）正确
【解析】
根据象限角、锐角、终边相同的角的概念即可区分出答案.
【详解】
(1)不正确,如,都是第一象限角,但它们不是锐角.
(2)不正确.如与的终边相同,但它们不相等.
(3)不正确,如不是锐角(锐角的取值范围是到)
(4)正确.(钝角的取值范围是到)
【点睛】
本题主要考查了象限角，终边相同的角的概念，属于中档题.
21．（1）是方程的解,详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据锐角满足，求出和的值，代入函数是否等于1即可判断.
（2）由方程，利用（1）的结论求解即可.
【详解】
（1），
即，
解得：或，
∵是锐角，
可得.即，
那么：，.
∴，
故得锐角满足时，是方程的解；
（2）由（1）可知，，是方程的解.
则，
∴方程在区间上的解集为.
【点睛】
本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查反三角函数，属于基础题.
22．（1），；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）先通过角所在象限确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可；
（2）分为第三象限角或第四象限角讨论，确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】
（1）因为为第四象限角，则，
，
；
（2），所以为第三象限角或第四象限角，
①当为第三象限角时，，
，
.
②当为第四象限角时，，
，
.
23．答案见详解.
【解析】
【分析】
利用特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】
角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
角的弧度数
不存在 不存在
24．(1) ;(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理直接求b的值即可．（2）先由求出，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】
（1）∵a=4，c=3，cosB=．
∴由余弦定理可得b===．
故b的值．
（2）∵cosB=，B为三角形的内角，
∴sinB===，
又a=4，c=3，
∴S△ABC=acsinB==．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误．
25．当在第二象限时，；当在第三象限时，.
【解析】
【分析】
根据确定在第二象限或第三象限，讨论两种情况，结合距离之比为4∶3解得答案.
【详解】
，故在第二象限或第三象限，
当在第二象限时，，，
故，；
当在第三象限时，，，
故，.
综上所述：
当在第二象限时，；当在第三象限时，.
【点睛】
本题考查了根据三角函数定义求三角函数值，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.
26．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．
（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．
【详解】
（1）由已知，，
∴，
∴；
（2）由单位圆可知：，
由余弦定理得：
，
∵，∴，∴，
∴，∴.
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．
27．（1）
（2）原式=
【解析】
【详解】
分析：（1）根据正切的二倍角公式即可求得；（2）对于齐次式则通常先将原式变形为与正切有关的式子在代入已知即得答案.
详解：（1）(2)原式上下同时除以得：
点睛：对三角计算问题，先观察问题和条件的联系，然后借助倍角公式找到与已知相关的变形即可得出结论，对于齐次式的应用则可以好好进行总结，此方法计算较简便.
28．
【解析】
先由题意，得到，计算出，，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
又∵，
∴，，
∴
，
∵，∴.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求角的问题，熟记两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.
29．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将代入左式，化简即可得到右式.
（2）将，代入条件，通分化简得到，即2cos2α=cos2β，然后由，将余弦化成正弦即可证得结论.
【详解】
解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cos2α）=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.
（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
从而2cos2α=cos2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）展开左式，将1化为，应用完全平方差公式即可证结论.
（2）对左式提取公因式，由同角三角函数的平方关系化简即可证结论.
【详解】
（1），得证.
（2），得证.
答案第1页，共2页
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