人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第五章5.3诱导公式（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第五章 5.3 诱导公式
一、解答题
1．（1）已知cos=2sin，求的值.
（2）
2．已知f(α)＝.
（1）化简f(α)；
（2）若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围.
3．已知是第二象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
4．求下列各式的值:
（1）;
（2）
5．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；
（2）若，是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合.
6．已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
7．已知，.
（1）求；
（2）求.
8．（1）请直接运用任意角的三角比定义证明：；
（2）求证：．
9．化简：
(1)；
(2)．
10．计算:(1);
(2);
(3).
11．计算：tan 10°＋tan 170°＋sin 1866°－sin(－606°)．
12．已知角为第三象限角，且tan=3.
（1）求cos的值；
（2）若的值.
13．求证：.
14．试分别计算函数在上和上的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化较快.
15．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简已知式可得，然后由诱导公式化简求值式，再由同角间的三角函数关系变形后代入可得；
（2）利用平方关系变形可得．
【详解】
（1）∵cos=2sin，∴-sin =-2sin，∴sin =2cos ，即tan =2.
∴=.
===
===
====.
(2)(1)原式=
====1.
【点睛】
关键点点睛：同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．
(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝结合诱导公式进行求解．
(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝
＝.
2．（1）;（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式、同角三角函数的关系即可进行化简；
（2）利用正弦函数的性质即可求解
【详解】
（1）
（2），即，
’，
，．
，
，
即的取值范围为．
3．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．
【详解】
解：（1）因为α是第二象限角，且sinα=，
所以cosα=-=-，
所以tanα==-2．
（2）
=
=
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简求值即可；
（2）利用对数与指数的运算法则计算即可.
【详解】
解：（1）
（2）.
【点睛】
本题考查三角函数求值，指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.
5．（1）最小正周期为;单调递减区间是（2）
【解析】
（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间.
（2）首先求出函数的零点，得，是或中的元素，再分类讨论计算可得.
【详解】
解：（1）的最小正周期为：.
对于函数，
当时，单调递减，
解得，
所以函数的单调递减区间是.
（2）因为，即，
所以函数的零点满足：或
即或
所以，是或中的元素
当时，
则
当，（或，）时，
则
当，，
则
所以的值的集合是.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，以及函数的零点，特殊角的三角函数值，属于中档题.
6．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，由及，解得，，从而可得结果；
（2）由（1）得，根据错位相减法可求得结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，，
即，且，解得：，
又，，即
∴.
（2）由（1）可知，，得
，，即
①
②
①－②，得
∴
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
7．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式求得，再利用同角三角函数关系求得；（2）首先利用诱导公式化简式子，再将代入计算即可；
【详解】
解：（1）由题，即，
，
，，
，
.
（2）.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数关系及诱导公式，弦切互化是解决本类问题的关键，熟记诱导公式是解决问题的根本，需要加强记忆.
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数的定义即可证明；（2）结合二倍角公式及诱导公式即可证明.
【详解】
（1）设角α终边上任意一点P（x，y），
∵α﹣π与α的终边关于原点对称，因而Q（﹣x，-y）在α﹣π的终边上，
从而有cosα＝，cos（α﹣π）＝﹣，
∴cos（α﹣π）＝﹣cosα；
（2）证明：即证．
【点睛】
本题考查任意角三角函数定义的应用，考查余弦二倍角公式的应用，属于基础题.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据商数关系化简即可得出答案；
（2）根据商数关系化简即可得出答案.
(1)
原式
；
(2)
原式
．
10．（1）（2）（3）0
【解析】
利用诱导公式将任意角的三角函数转化为特殊锐角的三角函数，即可得到答案.
【详解】
(1)原式;
(2)原式
.
(3)原式
.
【点睛】
本题考查诱导公式的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限的应用.
11．0
【解析】
【分析】
利用诱导公式进行化简求值.
【详解】
原式＝
.
12．(1) (2)
【解析】
(1)根据同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）利用诱导公式化简后，弦化切，代入tan3求解即可.
【详解】
（1），
，
由，
解得，
因为为第三象限角，
所以
（2）因为,
所以.
13．见解析
【解析】
【分析】
已知等式左边利用诱导公式、同角三角函数间的基本关系化简得到结果与右边相等，即可得证.
【详解】
左边
右边，所以原式成立．
【点睛】
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．
14．函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；函数在上函数值变化较快.
【解析】
【分析】
根据平均变化率公式计算并比较即可.
【详解】
函数在上的平均变化率为.
函数在上的平均变化率为.
因为，
所以函数在上函数值变化较快.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先确定时刻两点的坐标及的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成（或）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.
【详解】
（Ⅰ）时，，所以，
又，所以，
即两点间的距离为.
（Ⅱ）依题意，，，
所以，
即函数关系为，
当时，，所以，.
【点睛】
考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.
答案第1页，共2页
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