人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第五章5.4三角函数的图象与性质（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 新高考名师导学 第五章 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数又在区间内是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是减函数，是增函数，那么角x在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．已知函数 则下列说法正确的是（ ）
A．函数为周期函数．
B．函数为偶函数．
C．当时，函数有且仅有 2 个零点．
D．若点是函数图象上一点，则 的最小值与无关．
三、解答题
4．已知函数．
（1）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图并写出它的对称轴；
（2）请描述如何由函数的图象通过变换得到的图象．
5．求函数的定义域和单调区间．
6．已知函数.
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值，并写出相应x的值.
7．已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
8．求函数的最小正周期.
9．已知向量，.
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的单调减区间.
10．已知函数.
（1）用“五点法”作函数的图象；
（2）说出此图象是由的图象经过怎样的变化得到的；
（3）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.
11．不求值,比较和的大小.
12．求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
13．已知函数（，，）的图象经过点，当时，取最大值1，当时，取最小值，且的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)设，，，，求角的大小.
14．求下列函数的最值及取到最值时对应x的值：
（1）；
（2）.
15．函数，.
（1）把的解析式改写为(，)的形式；
（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
（3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值.
16．求函数的最大值．
17．如图，三棱柱的各棱长均相等，底面，E，F分别为棱的中点．
（1）过作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
18．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.3 -10 0 10.1 17.2 20.0 17.2 10.3 0 -10．1 -17.3 -20.0
(1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
(2)画出该函数在的图象；
(3)在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程．
20．（1）已知，当时，求的值.
（2）已知函数，.求的单调递增区间；
21．设，，其中为非零实常数．
（1）若，，求；
（2）试讨论函数在上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．
22．设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值.
23．已知函数，且的图象的两相邻对称轴间的距离为
（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知的内角的对边分别为，角为锐角，且，求的面积
24．若有函数，
（1）求函数的定义域，
（2）写出函数的单调区间，
（3）比较、、的大小
25．已知函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的值（精确到0.01）.
26．设函数，其中向量，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，的面积为，求的周长.
27．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
28．已知．
（1）化简；
（2）如果，且，求的值．
29．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性和周期性；
（2）当时，若，求x的取值集合.
30．已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
31．已知函数.
（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值.
32．定义在上的非常值函数、（、均为实数），若对任意实数、，均有，则称为的关联平方差函数．
（1）判断是否是的关联平方差函数，并说明理由；
（2）若为的关联平方差函数，证明：为奇函数；
（3）在（2）的条件下，如果，，当时，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数并说明理由．
33．求函数的定义域，周期和单调区间.
34．借助函数的图象解不等式，.
35．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）；
（2）.
36．设函数.
(1)化简解析式，并求的定义域及最小正周期；
(2)求函数在区间上的最值.
37．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
利用定义判断各选项中函数的奇偶性，结合导数可判断出各选项中函数的单调性，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
当时，，函数在区间内是减函数，A选项不合乎题意；
对于B选项，函数为奇函数，且当时，函数为增函数，B选项合乎题意；
对于C选项，对于函数，，即，解得，
函数的定义域为，，该函数为奇函数，
，则函数在区间内是减函数，不合乎题意；
对于D选项，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，不合乎题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查了导数的应用，属于中等题.
2．C
【解析】
【分析】
根据正弦函数与余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由函数，根据正弦函数的性质，可得在上单调递减，
函数，根据余弦函数的性质，可得在上单调递，
所以是减函数，是增函数，可得角在，
所以角在第三象限.
故选：C.
3．BD
【解析】
【分析】
由的性质和图象可判断A；利用奇偶性定义可判断B；令解得可判断C；由函数
由函数的图象和性质可判断D.
【详解】
由得，
此时函数的图象为焦点在x轴对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
，
由知，
此时函数的图象为三角函数在的部分，
可知函数不是周期函数，故A错误；
，因为，所以，
所以函数为偶函数，故B正确；
令，解得，
令，解得，
因为，所以当，可得，
所以函数至少有 2 个零点，故C错误；
由得，
此时函数的图象为焦点在x轴，对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
椭圆的右焦点为，由椭圆性质知到焦点的距离最小时即为
右顶点，此时最小值为，所以的最小值为，
当时，的点到的距离的平方大于，
则的最小值与无关，故D正确.
故选：BD.
4．（1）作图见解析；对称轴为；（2）答案见解析．
【解析】
（1）根据五点作图法的步骤：列表、描点、连线可得出图象；根据正弦函数的对称轴，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的平移伸缩变换即可求解.
【详解】
解（1）列表如下：
0
0 2 0 0
函数在一个周期内的图象简图如图所示：
由，解得，
所以对称轴为．
（2）方法一：先将函数的图象向左平移个单位，
将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，
再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，
可得到函数的图象；
方法二：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，
将所得图象向左平移个单位，
再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，
可得到函数的图象；
5．定义域为，单调增区间为，无单调减区间.
【解析】
【分析】
利用整体法，结合正切函数的定义域和单调区间，即可求得结果.
【详解】
令，解得，
故的定义域为；
令，解得，
故的单调增区间为，
该函数没有单调减区间.
【点睛】
本题考查正切型三角函数定义域和单调区间的求解，属综合基础题.
6．（1）详见解析；（2）；（3）；
【解析】
【分析】
（1）按5个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可.
（2）利用正弦函数的单调性令求解.
（3）根据得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
（1）按5个关键点列表如下：
描点连线作图如下：
（2）令
解得
所以函数的单调递增区间是
（3）因为
所以
所以函数在区间上的最小值为，此时，.
【点睛】
本题主要考查角终边的对称以及三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．（1），]（2）值域为[，]．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；
（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.
【详解】
解：（1）由题意得，
因为相邻两对称轴之间距离为，所以，
又因为函数为奇函数，所以，∴，
因为，所以
故函数
令.得.
令得，
因为，所以函数的单调递减区间为，]
（2）由题意可得，
因为，所以
所以，.
即函数的值域为[，]．
【点睛】
本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.
8．
【解析】
【分析】
先求定义域，再利用切化弦、两角差的余弦公式将函数的解析式化简，然后利用正切函数的周期公式计算即可.
【详解】
函数的定义域为且，即且
又，因此，函数的最小正周期为.
【点睛】
本题考查正切型函数的最小正周期的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题
9．（1）；（2）,.
【解析】
【详解】
分析：（1）由平面向量平行的性质得，两边同除以，得，即，从而可得结果；（2）由平面向量数量积公式，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间
详解：（1）由，得；
由，得，
两边同除以，得，即，
结合，得.
（2） .
由，，解得，，
所以函数的单调减区间是，.
点睛：本题主要考查平面向量的性质以及三角函数的单调性、属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
10．（1）见解析；（2）见解析；（3）对称轴，；对称中心，；单调递增区间，.
【解析】
【分析】
（1）根据五点作图法列出表格，找出五点的坐标，在平面直角坐标系中画出图象即可；
（2）由三角函数图象平移变换过程，即可得由的图象得到的过程；
（3）根据正弦函数的图象与性质，即可由整体代入法分别求得的对称轴、对称中心、单调递增区间.
【详解】
（1）函数，对应五点如下表所示：
将点坐标分别描在平面直角坐标系中，连接各点如下图所示：
，
（2）方法一：将的横坐标扩大为原来的2倍，可得，再将函数图象向右平移个单位可得，最后将纵坐标伸长为原来的倍，即可得；
方法二：将向右平移个单位可得，再将横坐标扩大为原来的2倍，可得，最后将纵坐标伸长为原来的倍，即可得；
（3）由正弦函数的图象与性质可知，函数对称轴满足，解得，；
由正弦函数的图象与性质可知，函数对称中心满足，解得，所以对称中心为，；
由正弦函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间满足，解得，所以单调递增区间为，.
【点睛】
本题考查了五点作图法画三角函数图象的简单应用，三角函数图象平移变换过程的描述，根据三角函数性质由整体代换法求对称轴、对称中心和单调区间的方法，属于基础题.
11．
【解析】
变形，，利用正弦函数在上的单调性比较的大小即可.
【详解】
解:,.
函数在上单调递增,且,
,即.
【点睛】
本题考查诱导公式的运用以及正弦函数的单调性的应用，是基础题.
12．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据所给函数解析式，列出不等式组求解即可；
（2）由题意可得，利用余弦函数的图象性质解不等式求解即可.
(1)
由题意得，即
解得或，∴原函数的定义域为.
(2)
若使函数有意义，则需满足，即，，
∴函数的定义域为，.
13．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得.
（2）通过求来求得.
(1)
依题意有，最大值与最小值间的横坐标最小距离为，则
，，，
则，将点代入得，
而，∴，∴，
故；
(2)
，，
，，
∴，，
∴，
，∴.
14．（1）；；（2）；.
【解析】
【分析】
根据三角函数的恒等变换公式，再结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）解：,又
当时，函数有最大值，此时，
当时，函数有最大值，此时；
（2）解：,又，
当时，函数有最大值，此时，
当时，函数有最大值，此时.
15．（1）；（2），最大值，最小值；（3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数的解析式为；
（2）由（1）知，求得的最小正周期为，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；
（3）根据三角函数的图象变换，求得函数，得到，令，求得或，结合函数区间上至少有20个零点，求得，即可得到实数的最小值.
【详解】
（1）由题意，函数
.
即的解析式为.
（2）由（1）知，所以函数的最小正周期为，
因为，则，
所以当，即时，函数取得最小值，最小值为；
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
即函数的最小值为，最大值为.
（3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得，
则函数，
令，即，即，解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，
则满足，即实数的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
16．2
【解析】
【分析】
设，，则，利用三角函数的图象和性质即得解.
【详解】
设，，则
因为，所以，
当即时，．
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由直线平面，利用线面平行的判定定理可得直线直线，又直线，可得四边形是平行四边形，则，即点为的中点；（2）取的中点，由于两两互相垂直，所以可以为轴建立如空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.
试题解析：（1）如图所示，平面FHA1即为平面α，H点为线段BB1的中点．
理由如下：
因为直线BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直线BE平面AB1，
所以直线BE//直线A1H，又A1E//直线BH，
所以四边形BEA1H是平行四边形，则BH= A1E，
即H点为BB1的中点．
（2）如图，取B1C1的中点Q，显然FC，FQ，FA两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz如图所示．
不妨设棱长为2，则H（-1，1，0），A1（0，2，），
则，，
设面FHA1的法向量，
则由得
令，得．
取平面BFH的一个法向量，
于是．
所以二面角的余弦值为．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18．(1)
(2)图象见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）设函数解析式为，，根据表格数据得出，，的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）由五点作图法作图即可；
（3）解方程，即可得出的取值集合.
(1)
设函数解析式为，，
由表格可知：，，则，即．
由函数图象过点，得，即，可取．
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为；
(2)
列表：
t 0 0.15 0.3 0.45 0.6
0
y -20 0 20 0 -20
由表格数据知，，的图象如图所示．
；
(3)
由题意得，即，
则或，
所以或．
又，所以或0.4．
所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为．
19．(1)增区间为，减区间为
(2)对称中心的坐标为；对称轴方程为
【解析】
【分析】
（1）将函数转化为，利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的对称性求解；
(1)
解：由．
令，
解得，
令，
解得，
故函数的增区间为，
减区间为；
(2)
令，解得，
可得函数图象的对称中心的坐标为，
令，解得，
可得函数图象的对称轴方程为．
20．（1）；（2）
【解析】
（1）利用三角函数诱导公式化简，再将代入计算即可；
（2）利用正弦函数的单调增性质即可求得的单调递增区间；
【详解】
（1）
当时，
（2）令，得
解得：
所以的单调递增区间为
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)由 求对称轴
(3)由求增区间;由求减区间.
21．（1）；（2）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；既不是减函数，也不是增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式对函数进行整理，再结合特殊角的三角函数值即可得到结论．
（2）先求出函数的解析式，再通过讨论得到其奇偶性，并通过举例得到其单调性即可．
【详解】
（1）（1）由已知，
由得：，
，
，．
（2）由已知，得．
①∵当时，对于任意的，总有，
∴是奇函数．
②当时，∵或等．
∴既不是奇函数，又不是偶函数．
∵，故不是增函数，
又∵，故不是减函数．
∴既不是减函数，也不是增函数．
22．（1）作图如解析所示；（2）；（3）机器的运转速度应控制在15转/秒内
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值．
试题解析：（1）.
则函数的最小正周期为.
令，
∴，
∴函数的单调递增区间为.
（2）∵，∴，∴
23．（1）函数的单调递增区间为 ；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由三角函数公式化简可得，由题意可得函数的周期为，由周期公式可得，可得函数解析式和单调递增区间；
（2）由题意和前面解析易得，再由题意正弦定理可得，由余弦定理可解得a值和值，代入面积公式计算可得．
试题解析：（1）
由的图象的两相邻对称轴间的距离为，又， ，解得
由解得
故函数的单调递增区间为
（2）或或
由于角为锐角，
由得
考点：的图像和性质，正弦定理
24．（1）；（2）单调增区间为：，无单调减区间；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数的定义域，代入求解；
（2）用整体代入法求单调区间即可；
（3）根据函数的单调性，以及特殊值，比较大小.
【详解】
（1）由
得函数的定义域为.
（2）由，
得函数的的单调增区间为
无单调减区间.
（3），
∵，
∴
∵，
∴
∵，
在上是增函数，
∴
所以
即
所以
【点睛】
本题考查正切型函数定义域的求解，单调区间的求解，以及利用单调性比较函数值大小；本题的难点是比大小时，充分利用函数的单调性.
25．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)由函数的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可;
(Ⅱ)利用定义法判断出为偶函数,进而求出的值.
【详解】
(Ⅰ)函数,
则有,解得,
即函数的定义域是;
(Ⅱ)因为的定义域是,关于原点对称,
且,
所以是偶函数,
所以.
【点睛】
本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题,属于基础题.
26．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求的函数的最小正周期；
（2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案.
(1)
解：，
∴最小正周期.
(2)
解：由得，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，
由余弦定理得，
∴，∴的周长为.
27．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先确定时刻两点的坐标及的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成（或）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.
【详解】
（Ⅰ）时，，所以，
又，所以，
即两点间的距离为.
（Ⅱ）依题意，，，
所以，
即函数关系为，
当时，，所以，.
【点睛】
考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.
28．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式可化简；
（2）由，根据诱导公式，将所求角转化为已知角，即可求解.
【详解】
试题解析：（1）．
（2）．
由已知且，
．故．
【点睛】
本题考查利用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系求值，属于基础题．
29．（1）奇函数，周期为的周期函数；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别判断函数的奇偶性和周期性得到答案.
（2）讨论和两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
（1），则，函数为奇函数；
，函数周期为.
（2）当时，，故，.
当时，，故，.
综上所述：或，即.
【点睛】
本题考查了三角函数的奇偶性和周期性，根据函数值求，意在考查学生的综合应用能力.
30．（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有
因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
31．（1），单调递增区间为 （2）时函数取得最小值，时函数取得最大值.
【解析】
（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简即可得出单调递增区间；
（2）用整体代换法得当时，当时函数取得最小值，当时函数取得最大值.
【详解】
解：（1）的最小正周期为
由得
所以的单调递增区间为
（2）当时
所以当即时函数取得最小值，
当即时函数取得最大值.
【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
32．（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）是满足要求的最小正数，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；
（2）结合关联平方差函数定义，证明恒成立；
（3）结合关联平方差函数定义先探求，再用反证法证是满足要求的最小正数.
【详解】
（1）是的关联平方差函数，
（2）是非常值函数，所以存在，，
下证对任意实数，
令，可得；
再令，可得
两式相加可得，，，
所以为奇函数
（3）令可得，
即，
，，
令，，
令，，
用替换可得，
[1]若，那么；
[2]若，那么；
所以
综上可知满足要求，下证是满足要求的最小正数，用反证法，若存在也满足要求，令，可得，而，，，矛盾！
所以是满足要求的最小正数.
【点睛】
本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
33．见详解
【解析】
【分析】
由正切函数的周期为,单调增区间为来求此函数的定义域，周期和单调区间.
【详解】
由可得：，
即函数的定义域为：；
由得，函数的最小正周期为；
由得，
即函数的单调递增区间为.无减区间.
【点睛】
本题主要考查求正切函数的单调性，定义域，以及最小正周期，熟记正切函数的性质即可，属于常考题型.
34．
【解析】
画出和的图象，观察图象即可.
【详解】
在同一坐标系中画出和的图象，如下：
当时，，
由图象可知不等式的解集为.
【点睛】
本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.
35．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；
（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.
【详解】
（1）
，即所求集合为；
（2））
，即所求集合为
【点睛】
本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
36．(1)详见解析；
(2)最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由正切函数对自变量的限制可求得函数的定义域；以三角函数两角和差及倍半角公式对解析式进行化简即可；
（2）以正弦型函数在给定区间求值域的格式书写过程即可.
(1)
由得，，
故的定义域为
的最小正周期
(2)
由得，，
则，
故函数在区间上的最大值为，最小值为
37．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
（1）利用三角恒等变换得出，根据正弦型函数的值域求解；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1）
，
当时，，
∴，则.
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点，
②当或时，函数与直线在上有一个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，
则；
③当或时，函数与直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不符合题意；
④当时，函数与直线在上有三个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；
综上所述，存在实数和满足题设条件：
时，；
时，；
时，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.
答案第1页，共2页
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