2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题 (word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题 (word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 301.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-19 22:46:14 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》
同步练习题（附答案）
1．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127° B．108° C．126° D．125°
3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（ ）
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
5．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连接AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
8．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C＝α，∠A＝β，则（ ）
A．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为25° B．若α+β＝65°，则弧DE的度数为25°C．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为50° D．若α+β＝65°，则弧DE的度数为50°
9．如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
12．在半径为2的⊙O中有一条弦AB＝2，则弦AB所对的圆周角度数为 ．
13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是 ．
14．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，E为OC的中点，DE⊥OC，交⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点F．若P为直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
15．已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，连结BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）问OD与AC平行吗？说明理由．
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点，交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），点C是劣弧OA的中点，连接BC．
（1）求⊙P的半径；
（2）求弦BC的长．
18．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
19．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AE＝BE；
（2）如果BE EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．
20．如图点P为弦AB上一点，联结OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，求PC的长．
参考答案
1．解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠BDC＝25°．
故选：B．
2．解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
3．解：∵AP BP＝CP DP，
∴PD＝，
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，
∴PD＝6，
∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．
故选：C．
4．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故选：C．
5．解：EC＝AC﹣AE＝，
由相交弦定理得，AE EC＝DE BE，
则DE＝＝，
∴BD＝DE+BE＝，
故选：B．
6．解：∵AP PC＝BP PD，
∴PD＝＝，
∴＝，
∴∠ACD＝∠CBD，
∵∠CDP＝∠BDC，∠DCP＝∠DBC，
∴△DCP∽△DBC，
∴DC：DB＝DP：DC，即DC：（）＝：DC，
∴DC＝．
故选：A．
7．解：∵∠P＝30°，
又∵∠AOB＝2∠P，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
8．解：连接BD，
设的度数是x，
则∠DBC＝x，
∵AC过O，
∴∠ABD＝90°，
∵∠A＝β，
∴∠ADB＝90°﹣β，
∵∠C＝α，∠ADB＝∠C+∠DBC，
∴90°﹣β＝α+x，
解得：x＝180°﹣2（α+β），
即的度数是180°﹣2（α+β），
当α﹣β＝65°，即α＝65°+β时，的度数是180°﹣2（65°+β+β）＝50°﹣4β或180°﹣（α+α﹣65°）＝245°﹣2α，故选项A，C不符合题意；
当α+β＝65°时，的度数是180°﹣130°＝50°，故选项B错误，选项D正确；
故选：D．
9．解：分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，如图所示：
劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，
由折叠的性质可得OM＝MH＝OH，OH⊥BC，∠BAC＝∠BFC，
∴OM＝OB，，
∴∠OBC＝30°
∴∠BOH＝60°，
∴的度数为120°，
∴的度数为240°，∠D＝∠E＝60°，
∴∠BFC＝∠BAC＝120°，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且△ABE∽△ACD，
∵BG⊥CE，
∴EG＝AG，∠EBG＝∠ABG＝30°，
∴BG＝，
∵tan∠ECB＝，
设BG＝x，CG＝6x，则EG＝AG＝x，
∴AE＝2x，AC＝5x，
∴，
∵∠EAB＝∠DAC，∠E＝∠D，
∴△EAB∽△DAC，
∴，
故选：B．
10．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC＝QP QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
11．解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠DBC＝20°，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
12．解：连接OA，做OD⊥AB，
∵OA＝2，AB＝2
∴AD＝BD＝
∴AD：OA＝，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝45°，
∴∠ANB＝135°．
∴弦AB所对的圆周角度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．．
13．解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC＝140°，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故答案为：35°．
14．解：延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG．
∵点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝OD，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
设DE＝x，则DG＝2x，
∵∠COD＝30°，EG＝12，
∴x2+144＝4x2，
解得x＝4，
∴DG＝8，
∴PC+PD的最小值为8．
故答案为：8．
15．证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
16．解：（1）OD∥AC，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC；
（2）设⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝，
所以⊙O的直径为．
17．解：（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径为；
（2）连接PC交OA于D，连接AC，如图，
∵点C是劣弧OA的中点，
∴PC⊥OA，
∴OD＝AD＝2，
而P点为AB的中点，
∴PD为△ABO的中位线，
∴PD＝OB＝，
∴CD＝PC﹣PD＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，
∴DE＝＝（cm）．
19．解：（1）连接AB；
∵BC是直径，且BC⊥AH，
∴；
∵A是的中点，
∴＝＝；
∴∠BAE＝∠ABE；
∴AE＝BE；
（2）易知DH＝AD＝6；
∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；
由相交弦定理，得：AE EH＝BE EF，即：
（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；
Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；
由勾股定理，得：BD＝＝2．
20．解：延长CP交⊙O于点D，
∵PC⊥OP，
∴PD＝PC，
由相交弦定理得，PA PB＝PD PC，即PC2＝2×4＝8，
解得，PC＝2．
同步练习题（附答案）
1．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127° B．108° C．126° D．125°
3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（ ）
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
5．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连接AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
8．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C＝α，∠A＝β，则（ ）
A．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为25° B．若α+β＝65°，则弧DE的度数为25°C．若α﹣β＝65°，则弧DE的度数为50° D．若α+β＝65°，则弧DE的度数为50°
9．如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
12．在半径为2的⊙O中有一条弦AB＝2，则弦AB所对的圆周角度数为 ．
13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是 ．
14．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，E为OC的中点，DE⊥OC，交⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点F．若P为直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
15．已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，连结BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）问OD与AC平行吗？说明理由．
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点，交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），点C是劣弧OA的中点，连接BC．
（1）求⊙P的半径；
（2）求弦BC的长．
18．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
19．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AE＝BE；
（2）如果BE EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．
20．如图点P为弦AB上一点，联结OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，求PC的长．
参考答案
1．解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠BDC＝25°．
故选：B．
2．解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
3．解：∵AP BP＝CP DP，
∴PD＝，
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，
∴PD＝6，
∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．
故选：C．
4．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故选：C．
5．解：EC＝AC﹣AE＝，
由相交弦定理得，AE EC＝DE BE，
则DE＝＝，
∴BD＝DE+BE＝，
故选：B．
6．解：∵AP PC＝BP PD，
∴PD＝＝，
∴＝，
∴∠ACD＝∠CBD，
∵∠CDP＝∠BDC，∠DCP＝∠DBC，
∴△DCP∽△DBC，
∴DC：DB＝DP：DC，即DC：（）＝：DC，
∴DC＝．
故选：A．
7．解：∵∠P＝30°，
又∵∠AOB＝2∠P，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
8．解：连接BD，
设的度数是x，
则∠DBC＝x，
∵AC过O，
∴∠ABD＝90°，
∵∠A＝β，
∴∠ADB＝90°﹣β，
∵∠C＝α，∠ADB＝∠C+∠DBC，
∴90°﹣β＝α+x，
解得：x＝180°﹣2（α+β），
即的度数是180°﹣2（α+β），
当α﹣β＝65°，即α＝65°+β时，的度数是180°﹣2（65°+β+β）＝50°﹣4β或180°﹣（α+α﹣65°）＝245°﹣2α，故选项A，C不符合题意；
当α+β＝65°时，的度数是180°﹣130°＝50°，故选项B错误，选项D正确；
故选：D．
9．解：分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，如图所示：
劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，
由折叠的性质可得OM＝MH＝OH，OH⊥BC，∠BAC＝∠BFC，
∴OM＝OB，，
∴∠OBC＝30°
∴∠BOH＝60°，
∴的度数为120°，
∴的度数为240°，∠D＝∠E＝60°，
∴∠BFC＝∠BAC＝120°，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且△ABE∽△ACD，
∵BG⊥CE，
∴EG＝AG，∠EBG＝∠ABG＝30°，
∴BG＝，
∵tan∠ECB＝，
设BG＝x，CG＝6x，则EG＝AG＝x，
∴AE＝2x，AC＝5x，
∴，
∵∠EAB＝∠DAC，∠E＝∠D，
∴△EAB∽△DAC，
∴，
故选：B．
10．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC＝QP QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
11．解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠DBC＝20°，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
12．解：连接OA，做OD⊥AB，
∵OA＝2，AB＝2
∴AD＝BD＝
∴AD：OA＝，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝45°，
∴∠ANB＝135°．
∴弦AB所对的圆周角度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．．
13．解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC＝140°，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故答案为：35°．
14．解：延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG．
∵点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝OD，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
设DE＝x，则DG＝2x，
∵∠COD＝30°，EG＝12，
∴x2+144＝4x2，
解得x＝4，
∴DG＝8，
∴PC+PD的最小值为8．
故答案为：8．
15．证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
16．解：（1）OD∥AC，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC；
（2）设⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝，
所以⊙O的直径为．
17．解：（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径为；
（2）连接PC交OA于D，连接AC，如图，
∵点C是劣弧OA的中点，
∴PC⊥OA，
∴OD＝AD＝2，
而P点为AB的中点，
∴PD为△ABO的中位线，
∴PD＝OB＝，
∴CD＝PC﹣PD＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，
∴DE＝＝（cm）．
19．解：（1）连接AB；
∵BC是直径，且BC⊥AH，
∴；
∵A是的中点，
∴＝＝；
∴∠BAE＝∠ABE；
∴AE＝BE；
（2）易知DH＝AD＝6；
∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；
由相交弦定理，得：AE EH＝BE EF，即：
（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；
Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；
由勾股定理，得：BD＝＝2．
20．解：延长CP交⊙O于点D，
∵PC⊥OP，
∴PD＝PC，
由相交弦定理得，PA PB＝PD PC，即PC2＝2×4＝8，
解得，PC＝2．