苏教版（2019）选修第一册模块综合测试（Word含答案解析）

苏教版（2019） 选修第一册 模块综合测试
一、单选题
1．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
4．定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为
A． B． C． D．
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
6．如图所示，三条直线，，，且三条直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数序列满足（为的导函数），且，都有．若存在，使得数列是首项和公比均为的等比数列，则下列关系式一定成立的是（ ）．A． B．
C． D．
8．已知圆，圆，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内含
二、多选题
9．若，，且，则直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是数列中绝对值最小的项
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
11．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）
A．的准线方程为 B．点的坐标为
C． D．三角形的面积为（为坐标原点）
12．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、双空题
13．已知直线:，抛物线图象上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为__________，到直线距离的最小值为__________．
14．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为________秒，质点M到达An点处所需要的时间为__________秒．
四、填空题
15．曲线在处的切线的斜率是_____
16．已知是椭圆的左 右焦点，点P是椭圆上任意一点，以为直径作圆N，直线与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则___________.
五、解答题
17．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18．.已知圆与直线相切．
（1）求以圆O与y轴的交点为顶点，直线在轴上的截距为半长轴长的椭圆C方程;
（2）已知点A，若直线与椭圆C有两个不同的交点E,F，且直线AE的斜率与直线
AF的斜率互为相反数;问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值;若不是，请说明理由.
19．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.
(1)求椭圆S标准方程；
(2)求的面积的最大值.
20．已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：且.
21．函数，.
（1）求的单调区间；
（2）求证：当时，.
22．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为，设，根据双曲线图像的对称性可知，结合，则可求出的范围.根据双曲线的定义可知，，由双曲线离心率的定义，将其用表示为.令，可得函数，由其单调性可求出该函数的值域，也即是的范围.
【详解】
设双曲线的左焦点为，设，
则根据题意得，
则双曲线的离心率为
，
令，
易知在单调递增，
且，
则，即.
故选：C.
2．C
【解析】
由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.
【详解】
由题, 在上恒成立.即在上恒成立.
又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题.
3．A
【解析】
【详解】
分析：求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c与b的值，从而得到双曲线方程．
详解：抛物线y2=8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，
双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得c=3，则b=，
所以双曲线方程为：．
故选A．
点睛：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
4．A
【解析】
确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可
【详解】
由题当当时，极大值点为1，极大值为1
当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列
故.,故
设S=
3S=
两式相减得-2S=1+2()-
∴S=
故选A
【点睛】
本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题
5．D
【解析】
【分析】
求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可.
【详解】
解：表示圆心为，半径
变形为
由，，得，
代入成立，所以点为圆上的定点
所以直线与圆相切或者相交
故选：D
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，基础题.
6．B
【解析】
【分析】
根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.
【详解】
由图可知：,,,
且直线的倾斜角小于直线的倾斜角,所以,
综上可知：.
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
令，根据题意可知在上单调递增；又，所以，即得；由题意可知，即可得，，对其两边取对数，可得，；令，又导数在函数单调性中的应用，即可求出，进而求出结果.
【详解】
因为，则．
令，则，
在上单调递增．
又，∴，即，
数列是首项和公比均为的等比数列，则，∴，，
易知，上式两边同时取对数得，
即，，∴，令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，∴一定是和中的一个．
又，所以，则，
∴.
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
先分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，再比较圆心距和两圆的半径和差的关系得解.
【详解】
由圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，化为（x+1）2+（y-2）2=4，
所以圆心C1（-1，2），R=2.
圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，
所以圆心C2（3，-1），r=1，
∴两圆心间的距离d=＞2+1，
∴圆C1和圆C2的位置关系是相离．
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆的方程，考查两圆位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．ABC
【解析】
【分析】
根据题意可得，，，进而转化为，从而求出的值，进而求出直线的方程，即可判断直线所经过的象限.
【详解】
∵，，且，
∴，，，
∴，∴，
则直线，即，即，
故直线不经过第四象限．
故选：ABC．
10．CD
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质“若，则”得到，进而判定选项A错误；利用，，，为等差数列求，进而判定选项B错误；先利用方程思想求出通项公式，再求出前8项的绝对值的和即可判定选项C正确；利用等差数列的求和公式及性质“若，则”判定选项D正确.
【详解】
对于A：因为为等差数列，且，
所以，即，
所以，即是数列中绝对值最小的项.
故选项A错误；
对于B：因为为等差数列，
所以，，，为等差数列，
设，由得：，
故，，，为等差数列
解得，
所以.
故选项B错误；
对于C：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
则
.
故选项C正确；
对于D：因为为等差数列，且，，
所以，，
则.
故选项D正确；
故选：CD.
11．ACD
【解析】
【分析】
先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，，中位线，最后求出，即可得到答案.
【详解】
如图，不妨设点位于第一象限，
设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.
由抛物线的解析式可得准线方程为，
点的坐标为，则，，
在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有，结合题意，有，
故，，.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.
12．ACD
【解析】
【分析】
利用导数求出函数的极大值，即可判断A；
结合图像分析，即可判断B；
结合图像和对数的运算公式即可判断C；
分离参数k，构造新函数，利用导数求出最大值即可判断D.
【详解】
函数，定义域为，
则，令，解得，
，
即函数在上单调递增，在上单调递减；
所以函数在处取得极大值，极大值为，故A正确；
又，时，时，作出函数图像如下：
可得函数只有一个零点，故B错误；
结合图像可得，，
又，，得，
，得，
所以，故C正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，
，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，故D正确.
故选：ACD
13． 1
【解析】
先设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为，根据抛物线的性质，得到，结合图像，即可得出的最小值是焦点到直线的距离，根据点到直线距离公式，即可求出最小值；再设平行于直线且与抛物线相切的直线方程为：，根据判别式等于零，求出直线方程，两平行线间的距离即是动点到直线的距离的最小值.
【详解】
设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为，由抛物线方程可得：焦点坐标为，准线方程为：，则，，
因此，
如图所示，的最小值是焦点到直线的距离，即；
所以的最小值为：；
设平行于直线且与抛物线相切的直线方程为：，
由得：，
因为直线与抛物线线切，
所以，解得：，
因此，
所以两平行线间的距离为：，
即到直线距离的最小值为.
故答案为：(1). 1；(2). .
【点睛】
本题主要考查抛物线上的点到到直线的距离的最值问题，熟记抛物线的简单性质，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.
14． 6，
【解析】
【详解】
试题分析：由题可知，当时，质点到达点处时经过的路程为，因为速度为1单位/秒，所以质点到达点处所需要的时间为65秒，类似地，当n为奇数时，质点到达点处所需要的时间为，当n为偶数时，质点到达点处所需要的时间为，故可得；
考点：数列的应用
15．3
【解析】
【分析】
先求得函数的导函数，令求得导数，也即切线的斜率.
【详解】
，当时，导数为，也即切线的斜率为.
【点睛】
本小题主要考查复合函数的导数，考查切线斜率的求法，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.
【详解】
连接,设椭圆的基本量为，
,
故答案为：3.
17．（1）；（2）（，3）．
【解析】
（1）利用和可得数列通项公式；
（2）由（1）求得，用错位相减法求得和，不等式用分离参数法化简变形，然后按的奇偶进行分类讨论，通过求数列的最值得出结论．
【详解】
解：（1）由已知可得．
当时，，，所以．
显然也满足上式，所以．
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
两式作差，得，
所以．
不等式化为
当为偶数时，．
因为数列单调道增，
所以．
所以．
当为奇数时，，即．
因为数列单调递减，
所以．
所以．
综上可得，实数的取值范围是（，3）．
【点睛】
关键点点睛：本题考查由求，考查错位相减法求和，数列不等式恒成立问题．
（1）由求解时，，需验证表达式是否适合；
（2）数列求和除需掌握公式法（等差数列和等比数列的前项和公式）外还需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．
（3）数列不等式恒成立问题也常常用分离参数法转化为求数列的最值．在出现时一般可按是奇偶性分类讨论．
18．（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)因为直线在轴上的截距为2,所以.由直线与圆相切得由此能求出椭圆方程.
(2)设直线AE方程为,代入得.设,因为点在椭圆上,所以由此能求出直线EF的斜率为.
【详解】
(1) 因为直线在轴上的截距为2
所以
直线的方程变为
由直线与圆相切得
所以椭圆方程为
(2)设直线AE方程为，
代入得：
设E,F，因为点A在椭圆上，
所以，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
同理可得：
所以直线EF的斜率为
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识和圆的简单性质,解题时要注意合理地进行等价转化.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.
(1)
解：设椭圆S的半焦距为，
由题意解得
∴椭圆S的标准方程为；
(2)
解：由（1）得，
设，代入，得，
设，则，
∴，
∴，当且仅当即时，等号成立，
故的面积的最大值为.
20．（1）见解析;（2）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）求导数后令可得，根据与的大小关系可得在区间上的符号，从而可确定函数的单调性．（2）分两部分证明．（ⅰ）时，则，可证得，两边同乘以后可得；（ⅱ）令 ，利用导数可得，从而，故结论得证．
试题解析：
（1）解：∵，
∴．
令，得，
①当，即时，
则，
在上单调递增；
②当，即时，
令，得；令，得.
在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明:
先证．
当时，，
由（1）可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴，
，
.
再证．
设 ，
则 ，当且仅当时取等号．
设 ，
则，
∴当时，，单调递增；
令，得时，，单调递减．
.
，
又此不等式中两个等号的成立条件不同，故，
从而得证.
综上可得且．
点睛：利用导数证明不等式的方法
（1）根据函数的单调性进行证明．
（2）通过构造函数、求函数的最值进行证明．
①证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．
②证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．
21．（1）的单调减区间是，增区间为；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（2）要证，即证：，即证，构造函数，研究其单调性与最值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为.
由，得.
当时，；当时.
所以的单调减区间是，增区间为.
（2）要证，即证：，即证
设，
则
由（1）可知，即
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减
所以时，，
所以，当时，.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，不等式的证明方法，构造法的思想方法，属于中档题．
22．(1) . (2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列公差为，利用和表示出和，构造出方程组后解得和，根据等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）得到，采用裂项相消的方法求得.
【详解】
（1）设等差数列公差为
成等比数列
，解得：
（2）由（1）知：
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够根据数列的通项公式，将其进行准确的裂项，属于常考题型.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页