2022年人教版八年级数学 下册 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的特征（共28张）

(共24张PPT)
　　一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于
年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他
是这样分的：
老大 　
老二　
老三　
老四　
　　如何判断如图的三角形
面积相等？
　　问题 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素
的性质外，对角线有什么性质？
导入新课
18.1　平行四边形的性质
人教版八年级数学 下册
第2课时 平行四边形的对角线的特征
学习目标：
1．得出平行四边形对角线互相平分的性质；
2．利用平行四边形的性质解决一些 实际问题
　　如图，在　ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交
于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
　　猜想：平行四边形的　　
对角线互相平分．　
　　问题　你能证明上述猜想吗？　
目标导学一：平行四边形的对角线的性质
　　如图，在　ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．
OA与OC，OB与OD有什么关系？
　 求证：OA=OC，OB=OD．
　　证明：∵　四边形
ABCD是平行四边形，
∴　AB=CD，AB∥CD；
∴　∠1=∠2，∠3=∠4；
∴　△COD≌△AOB；
∴　OA=OC，OB=OD．
D
A
B
C
O
1
2
3
4
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的性质定理3
D
C
A
B
O
●
∴AO=CO,BO=DO（平行四边形的对角线互相平分）．
知识归纳
　
　　我们证明了平行四边形具有以下性质：
　 （1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
　　前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
知识归纳
例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
归纳
【变式题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
例3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，连接BE、DF．
求证：EB＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB＝OD，OA＝OC．
又∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝2(1)OA，OF＝2(1)OC，∴OE＝OF．
∵在△BEO与△DFO中，OB＝OD(∠BOE＝∠DOF)，∴△BEO≌△DFO(SAS)，∴BE＝DF．
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
议一议
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
归纳
例4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积．
解：
∴△ABC是直角三角形．
又AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10．
∵OA=OC，
∴AC===6
∴OA=AC=3
∴S
ABCD
= BC×AC=8×6=48．
8
10
B
C
D
A
O
●
目标导学二：平行四边形的面积
例5 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
规律
问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
归纳
如图，O为 ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
(1)图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
(2)求证：∠MAE＝∠NCF.
解：(1)有4对全等三角形，分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA　(2)∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF(SAS)，∴∠EAO＝∠FCO.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∴∠MAE＝∠NCF
即学即练
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
课堂小结
BY YUSHEN
1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．18 B．28 C．36 D．46
C
检测目标
5.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为
2×(BC+CD)=20．
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点