2022年人教版八年级数学 下册 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形中位线 课件（共36张）

(共36张PPT)
平行四边形的判定
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
温故知新
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
想一想 一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，你会分吗？
18.1.2　平等四边形的判定
人教版八年级数学 下册
第3课时 三角形的中位线
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。
请同学们按要求画图：
在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，
连接DE．
D
E
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
目标导学一：三角形的中位线定理
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
即DE与BC有什么样的
位置关系和数量关系？
如图在等边△ABC中，AD=BD，AE=EC，
B
C
D
E
A
△ADE是什么三角形？
DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？
等边三角形
请思考！
∴DE　　　BC
一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？
DE是△ABC的什么线？
中位线
猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如何证明？
A
B
C
D
E
F
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC∴△ADE ≌ △CFE
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
还有另外的证法吗？
∴DF∥BC，DF＝BC
又∵
即DE∥BC
已知在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC且DE= BC
B
C
A
D
E
F
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC
CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
DF∥BC，DF=BC
又DE= DF
∴DE∥BC且DE= BC
三角形中位线的性质
　 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
知识要点
D
E
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
A
B
C
D
E
F
①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
深入探究
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
精典例题
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
规律
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是____m，理由是_______________________．
40
中位线等于第三边的一半．
抢答
如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=____cm；若BC=9cm，则DE=_______cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
10
4.5
抢答
A
B
D
E
C
F
例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
目标导学二：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD，
FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
变式练习
例5 如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：连接OA在△AOB中，D、E为AB、BO上的中点，
∴DE为△AOB的中位线，∴DE= AO，DE∥AO.
同理可证，GF= AO，GF∥AO.
∴GF∥DE，GF=DE.
∴四边形DEFG是平行四边形.
精典例题
例6.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
精典例题
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：（1）已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点；求证：EB＝DF.
（2）在（1）的图中，AF交BE于G，CE交
DF于H；求证：EF与GH相互平分.
提示:(1)由△ABE≌△CDF→ EB＝DF.
(2)先证GE＝FH
EH＝GF
四边形EGFH为平行四边形．
精典例题
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理．
知识归纳
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
课堂小结
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （　　）
A.8 B.10 C.12 D.16
D
检测目标
2．根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是( 　　 )
A．两组对边分别相等
B．两条对角线互相平分
C．两条对角线相等
D．两组对边分别平行
C
检测目标
3．如图四边形ABCD中，AB//CD，只需添加
　 一个条件，能使四边形ABCD是平行四边
形，现有条件:①AB=CD，②BC=AD，
③AD//BC，④∠ABC=∠ADC，
这些条件中，满足要求的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
C
B
D
C
检测目标
4．在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B． AB=CD，AD=BC
C．AB∥CD，AB=CD
D． AB∥CD，AD=BC
D
检测目标
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=8，则AD长度的取值范围是 ( )
　A．AD>1 　　 B．AD<9
　C．AD>10 　 D．1C
B
D
O
A
D
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点