浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学试题（Word版含答案）

浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期2月开学考试
数学学科
考生须知；
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A.-2 B.-1 C.1D.2
3.已知A，B是相互独立事件，且，，则（ ）
A.0.9 B.0.12 C.0.18 D.0.7
4.已知函数在区间上有定义，则“在区间上有零点”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，，，则的最小值为（ ）
A.12 B. C. D.
7.已知为抛物线：上的焦点，A，B为抛物线C上两点，且满足，则直线AB的斜率为（ ）
A. B. C.±1 D.
8.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距.对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为.有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…；顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即4，商家第次的讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即.现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到元，则最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分。
9.已知，，是三个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
10.已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A.14米 B.16米 C.18米 D.20米
12.已知不共线的平面向量，，满足，，，且.则下列结论正确的是（ ）
A.与的夹角的取值范围为
B.与的夹角可能为
C.的最小值为
D.对给定的，记的最小值为，则
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.已知双曲线：的离心率，则虚轴长为_____________.
14.已知等差数列的公差为1，若以数据，，，，为样本，则此样本的方差为_____________.
15.已知正方形，，，，，点O关于直线FM对称的点为N，则的最小值为_____________.
16.已知正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为外接球的表面积最大值为_____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（Ⅰ）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分12分）已知多面体中，，，，，，且F为线段AB的中点.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）若，求平面DEB与平面EAB所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知二次函数.
（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求的值；
（Ⅱ）若对任意实数，在区间上总存在两实数，，使得成立，求实数的取值范围.
21.（本题满分12分）已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，，，记，，的面积分别为，，.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：为定值；
（Ⅲ）若，当时，求实数范围.
22.（本小题满分12分）已知数列、满足，，.
（Ⅰ）若为等差数列，写出的通项公式，并求所有正整数k的值，使得；
（Ⅱ）若是公比2的等比数列，求证：
浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期2月开学考试
数学学科
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9.BC 10.ACD 11.BCD 12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14.2 15.0 16.
四、解答题：
17解：解：（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（1），由得：
，即，于是.
在中，得：.
于是，则
所以.
18.（Ⅰ）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
解得，
∵，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（Ⅱ）①由技术人员年人均投入不减少有，解得.
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.
19.解：（Ⅰ）证明：取中点，连，
∵，
且，
∴四边形为平行四边形.
∴，面，面，
∴面.
（Ⅱ）以为轴，过垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，设.
∵，∴
解得
∴，.
设面的法向量，则即
解得，又面的法向量，
设平面与平面所成角为，则.
20.解（Ⅰ）当时
故解得.
（Ⅱ）存在两实数，使得成立，
则在区间上，有成立，
设﹐函数对称轴为，
①当即时，在上单调减，
，
此时；
②当即时，
，
③当即时，
，
④当即时，
，
综合①②③④得，最小值为，因为对任意实数t，都有，
故
21.（1）解：由已知得，即，
所以，椭圆标准方程为.
（2）设，，不妨设，由已知可设直线：，则
由得：.同理：.
由得：，
即
于是，
，得.
.
（3）.因为，所以
又因为
，
，
于是，
由得
所以，
因此，.
22解：（Ⅰ），
得，得：.
（Ⅱ）一方面：由条件知：，，累加得：
，解得又
∴，得：.
另一方面，易知，∴
由化得：
设，，则
得：
∴，即得：
∴
综上，得证.