(共21张PPT)
课题：线段垂直平分线（1）
一、创设情境，激活思维
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
P
N
M
点P是码头的位置
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究1：
二、问题串联，新知萌芽
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
二、问题串联，新知萌芽
你能验证这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
猜想证明：
二、问题串联，新知萌芽
文字语言：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理
结论
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
P
A
B
∟
二、问题串联，新知萌芽
线段垂直平分线的性质定理
素养考点 1
二、问题串联，新知萌芽
如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下
列结论不一定成立的是 ( )
例题1
A.AB=AD
B.AC平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
C
思考：
知识点2
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
三、联想思考，新知生成
如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
想一想：
三、联想思考，新知生成
（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
证明：
三、联想思考，新知生成
还有其他证明方法吗？
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
文字语言：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
结论
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
∟
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
三、联想思考，新知生成
线段的垂直平分线可以看成是线端两端距离相等的所有点的集合。
线段垂直平分线的判定定理
素养考点 2
三、联想思考，新知生成
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
例2
证明：∵AB＝AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
四、双基巩固，新知应用
（1）若∠A = 40°，则∠ABC = °，∠C = °，
∠DBA = °，∠DBC = °，∠BDC = °；
（2）若∠DBC = 15°，则∠A = °，∠DBA = °，
∠ABC = °，∠C = °；∠BDC = °；
（3）若AC=5， BC =4，则BD+DC= ，△BCD的周长为 。
例3
如图，在△ABC中，AB=AC， MN是AB的垂直平分线。
70
70
40
30
80
x
50
50
65
65
100
5
9
如图，在△ABC中，AB=AC， ，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求 的度数.
例4
五、分层反馈，以题练知
1.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DBC
五、分层反馈，以题练知
2.如图所示，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，∠A＝ .
35°
五、分层反馈，以题练知
3.如图所示，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，
BC＝ .
23
五、分层反馈，以题练知
4.（★）如图所示，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于D.求证:AD=DC.
利用30°Rt△的性质
五、归纳小结，反思提高
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上，尺规作图的理论依据
探究新知的过程：
探索——发现——猜想——证明
课题：线段垂直平分线（1）
感谢观看！
深圳市初中数学在线教学资源课件1.3线段的垂直平分线（第一课时）教学设计
一 、教材的地位和作用
“线段的垂直平分线第一课时”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第三节。本节课主要研究线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其应用。线段的垂直平分线是几何中的重要概念，求作已知线段的垂直平分线是几何中的基本作图。在几何证明、计算中，线段垂直平分线的性质也有着重要的地位。它是在认识了轴对称的基础上进行学习的，是之后证明线段相等、直线垂直的依据。因此，本节课具有承上启下的作用。
学情分析
八年级学生已经具备了一定的独立思考能力和探究问题的能力，并能在探究问题的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐步完善自己的想法。学生在之前学习了轴对称的性质，对线段的垂直平分线有了初步的认识，这为顺利完成本节课的任务打下了基础。且学生已经基本掌握了运用全等三角形的知识证明线段相等、角相等，为证明线段垂直平分线的性质做好了知识准备。但学生基础差、底子薄、努力程度不够，对于线段垂直平分线性质定理的掌握存在较大困难。
在心理上，八年级学生独立性和表现欲较强，希望得到老师和同伴的认可和肯定，体现自身价值，教师可以抓住这一心理特征，积极鼓励，增强学生学习主动性。
教学目标
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。
2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
教学重点与难点
重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
教学关键
运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点。
教学方法
本课以学生的实验探究活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学”为主，讲授法、启发式教学、多媒体辅助教学等多种方法相结合。注重培养学生动手操作，主动探究及合作交流能力。通过教学活动的经验，培养合情推理与初步的逻辑推理能力。注重学生的个性差异，因材施教，分层教学。
教具学具准备
课件、三角尺
教学设计
（一）创设情境，激活思维
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 ”
［设计意图：通过现实问题，激发学生兴趣。引出线段垂直平分线，使学生回忆探索过程，其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用，紧接着让学生自主思考证明的思路和方法.］
（二）问题探究，思维生长
（教师出示探究活动）
活动一、问题串联，新知萌芽
【探究1】
（1）如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
（2）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。小组讨论，尝试证明这一定理。
（3）几何语言
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上任意一点．
求证：PA=PB．
分析：首先要进行分类：P在AB上和P在AB外。要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：
①P在AB上
∵P为MN中点
∴PA=PB
②P在AB外
∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)．；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
【例题1】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
强调：这是证明边相等的又一个依据。
［设计意图：学生回忆之前的探索过程，尝试使用几何语言对垂直平分线的性质进行证明，培养学生逻辑推理能力。同时注意分类讨论，培养学生思维严密性。］
活动二、联想思考，新知生成
【探究2】
（1）你能写出上面这个定理的逆命题吗？
（2）它是真命题吗？如果是，请你加以证明，在小组内分享你的证明方式
（教师引导：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．）
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC.
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
教师：从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看成是线端两端距离相等的所有点的集合。
（3）几何语言
［设计意图：学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，并且通过小组分享发现多种证明方法，发散了学生思维，增强逻辑推理能力。其中后三种做法可简单略过，详细阐述第一种做法。］
活动三：双基巩固，新知应用
【例题2】已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且OB = OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线AO是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
［设计意图：通过此环节对垂直平分线判定定理进行应用，同时得到线段垂直平分线的判定方法，也是尺规作线段垂直平分线的理论依据。］
典型例题，巩固新知
例3.如图，在△ABC中，ABAC， MN是AB的垂直平分线。
（1）若∠A = 40°，则∠ABC = °，∠C = °，
∠DBA = °，∠DBC = °，∠BDC = °；
（2）若∠DBC = 15°，则∠A = °，∠DBA = °，
∠ABC = °，∠C = °；∠BDC = °；
若AC=5， BC =4，则BD+DC= ，△BCD的周长为 。
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求的度数.
［设计意图：利用例题练习进行知识巩固。］
（四）归纳小结，反思提高
在本节课的学习中，你有哪些收获和我们分享？还有哪些疑惑？
1.知识体系构建：
定理
垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言
①∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
②∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
2.探究新知的过程：
探索——发现——猜想——证明
3.思想方法的归纳：
证明边相等的又一个依据：垂直平分线性质定理
尺规作图的理论依据：垂直平分线的判定定理
［设计意图：通过总结对本节课进行梳理，构建知识体系，强化模型记忆。引导学生进行反思，形成总结和反思的习惯。］
（五）分层作业，深化新知
1.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DB2.如图所示，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，∠A＝ .
3.如图所示，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，BC＝ .
4.（★）如图所示，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于D.求证:AD=DC.
1.必做题：学案第1、2、3题；
2.选做题：学案第4题；
［设计意图：作业以分层形式进行，保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展.］
（六）板书设计
九、教学设计说明与反思：
教学设计是课标的意义解读，是课本的实际呈现，是课堂的基本预设，是教学的基础框架。正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）提到的：“义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”对课程标准、教学参考的反复研读，对教材、学情的反复剖析，对教学设计的反复斟酌，是对数学教育的崇高敬意。那么如何提高学生数学核心素养？下面就“线段的垂直平分线（第一课时）”为例，谈一谈自己的做法与体会。
设计问题串联，生长创新思维
问题串的设计是教学设计的灵魂，不停的提问可以激发学生的思考，培养学生的创新思维。正如《课标》对于创新意识的要求：“创新意识的培养是现代教学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。”本节课从生活情景设问，激发学生学习兴趣，引导学生回忆旧知。接下来对证明进行提问，促使学生运用逻辑推理；对情况进行提问，使学生思维缜密；对逆命题进行提问，串联旧知，引出逆定理，最后设计例题，巩固本节课知识，问题串联了整个课堂，让学生思维充分活跃起来。
反复强调过程，渗透符号意识
初中阶段，数学学习由原来的以算式、计算为主转变为以符号语言、逻辑过程为主。因此，对于符号意识要不停进行渗透。以《课标》的解释来说：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”本节课多次进行过程的演示，并鼓励学生上台展示几何过程，不断进行纠正，力求每个人对过程的完善。
引用生活问题，培养几何直观
数学来源于生活，同时要服务于生活，离开了生活的数学是枯燥且无意义的。本节课从生活中的“修葺码头问题”开展探究，从生活实际的“两个厂距离相同”提炼出直观的几何模型“两个点距离相同”，接下来变为“两点之间连线的垂直平分线”。将复杂的生活问题变为简明、形象的数学几何问题，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
构建知识体系，深化模型思想
数学模型是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。数学的知识内容联系十分紧密，因此学习数学，必须要形成一套知识体系。《课标》中指出：“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立房产、不等式、函数等表示数学问题中数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”本节课从实际问题出发，抽象出“垂直平分线的性质”模型，同时利用“垂直平分线的判定”为线段垂直平分线的尺规作图提供理论依据。本节课也给出了“证明边相等”的几何模型，在最后的知识总结中，帮助学生完善构建知识体系。
本节课的结束不代表学生探索数学知识，生长数学思维，培养数学素养的停止。时代在进步，中国在进步，学生在进步，教育也应跟上脚步。对于课堂的研究、教学研讨、教学二次、三次反思，教材重组设计教案，还需更进一步的研究。让我们利用课程的力量，让数学生长在课堂，生长于学生的思维深处，让学生对数学有着更深的理解与更饱满的热情。
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