1.1.2 余弦定理
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课件37张PPT。1.1.2 余弦定理学习目标
1.掌握余弦定理，能够初步应用余弦定理解一些斜三角形．
2．能运用余弦定理解决某些与测量有关和几何计算有关的实际问题.第一课时 课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案1．余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边的_______减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在△ABC中，有：
a2＝________________，
b2＝_______________ ，
c2＝_______________.
余弦定理的特例：勾股定理
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则_________.平方平方和c2＝a2＋b2a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA2bccosA2accosB2abcosC提示：余弦定理及其变式中都联系到三边和一角四个量，所以在余弦定理及其变式中可以知三求一．3．应用余弦定理可解决两类问题
因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素:三边一角，所以用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求_______ ；
(2)已知两边和它们的夹角，求_____________
_______ ．三个角思考感悟
2．运用余弦定理解三角形时，结果唯一吗？
提示：结果唯一．课堂互动讲练【分析】 首先利用余弦定理求出边b，然后用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角和定理求得另外两角．【点评】 已知两边及其夹角解三角形时先利用余弦定理求第三边，后用正弦定理求其余两角，解是唯一的．自我挑战1 在△ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，求：
(1)sinBsinC；
(2)sinB＋sinC. 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
【分析】 在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大．【点评】 在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理． 在△ABC中，边a＝1，b＝2，求A的取值范围．
【分析】 根据题意可联想到运用余弦定理，将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一元二次方程，令其判别式不小于0即可求解．【点评】 本题除了根据余弦定理求解，还可以根据正弦定理转化为由B的范围求A的范围，方法也很巧妙，你不妨一试．自我挑战3 钝角三角形的三边长分别为a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，求a的取值范围． 如图，有两条相交在60°的直线xx′与yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上A、B处，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．(1)起初两人相距多远？
(2)用含t的式子表示t小时后两人之间的距离；
(3)求出发后何时两人相距最近？
【分析】 利用余弦定理可求得甲乙间的距离．【点评】 (1)本题难点在于甲乙两人前进的方向与点O的关系，甲在点O的左边还是右边所用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此，在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意，不要盲目地画出图形了事．
(2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹角求第三边的问题．解答第(2)问，要注意两人行走的位置变化，夹角不同，要讨论．自我挑战4 据气象台预报，距S
岛300 km的A处有一台风中心形
成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问 ：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，
∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.
若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270,
即SB2≤2702，知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
1.掌握余弦定理，能够初步应用余弦定理解一些斜三角形．
2．能运用余弦定理解决某些与测量有关和几何计算有关的实际问题.第一课时 课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案1．余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边的_______减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在△ABC中，有：
a2＝________________，
b2＝_______________ ，
c2＝_______________.
余弦定理的特例：勾股定理
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则_________.平方平方和c2＝a2＋b2a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA2bccosA2accosB2abcosC提示：余弦定理及其变式中都联系到三边和一角四个量，所以在余弦定理及其变式中可以知三求一．3．应用余弦定理可解决两类问题
因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素:三边一角，所以用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求_______ ；
(2)已知两边和它们的夹角，求_____________
_______ ．三个角思考感悟
2．运用余弦定理解三角形时，结果唯一吗？
提示：结果唯一．课堂互动讲练【分析】 首先利用余弦定理求出边b，然后用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角和定理求得另外两角．【点评】 已知两边及其夹角解三角形时先利用余弦定理求第三边，后用正弦定理求其余两角，解是唯一的．自我挑战1 在△ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，求：
(1)sinBsinC；
(2)sinB＋sinC. 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
【分析】 在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大．【点评】 在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理． 在△ABC中，边a＝1，b＝2，求A的取值范围．
【分析】 根据题意可联想到运用余弦定理，将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一元二次方程，令其判别式不小于0即可求解．【点评】 本题除了根据余弦定理求解，还可以根据正弦定理转化为由B的范围求A的范围，方法也很巧妙，你不妨一试．自我挑战3 钝角三角形的三边长分别为a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，求a的取值范围． 如图，有两条相交在60°的直线xx′与yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上A、B处，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．(1)起初两人相距多远？
(2)用含t的式子表示t小时后两人之间的距离；
(3)求出发后何时两人相距最近？
【分析】 利用余弦定理可求得甲乙间的距离．【点评】 (1)本题难点在于甲乙两人前进的方向与点O的关系，甲在点O的左边还是右边所用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此，在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意，不要盲目地画出图形了事．
(2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹角求第三边的问题．解答第(2)问，要注意两人行走的位置变化，夹角不同，要讨论．自我挑战4 据气象台预报，距S
岛300 km的A处有一台风中心形
成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问 ：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，
∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.
若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270,
即SB2≤2702，知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用