第1章1.1.2余弦定理 (第二课时)

课件26张PPT。第二课时 课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案1．余弦定理：__________________，_________
__________，__________________.
2．利用余弦定理可解决两类问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．a2＝b2＋c2－2bccosAc2＝a2＋b2－2abcosC1．判断三角形的形状
(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)；
(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系；要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．a2＋b2＝c2a2＋b2>c2a2＋b2在△ABC中，a2＋b2＞c2，那么△ABC是锐角三角形吗？
提示：不一定，因为由a2＋b2＞c2只能说明C为锐角，不能说明A、B也为锐角．　
2．余弦定理与三角函数的综合问题课堂互动讲练【分析】　要证的等式中，既含有边又含有两角的正弦余弦，因此，可考虑应用正弦定理和余弦定理将它转化成只含有边的等式．自我挑战1　在△ABC中，D为BC的中点，求证：2(AD2＋BD2)＝AB2＋AC2.证明：如图，延长AD至E，使AD＝DE，连结BE，CE，则四边形ABEC是平
行四边形．由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·
cos∠BAC， ①AE2＝BA2＋BE2－2BA·BE·cos∠ABE， ②
①＋②得：BC2＋AE2＝2AB2＋AC2＋BE2－2AB·AC·cos∠BAC－2BA·BE·cos∠ABE.又因为∠ABE＋∠BAC＝π，BC＝2BD，AE＝2AD. AC＝BE，所以4(BD2＋AD2)＝2AB2＋2AC2－2AB·AC·cos∠BAC＋2BA·AC·cos∠BAC，即2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2. 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
【分析】　判断三角形的形状通常从三角形内角的关系来确定，也可以从三边关系来确定．【点评】　利用正弦定理、余弦定理可以实现边角关系的互化．自我挑战2　△ABC中，已知a－b＝c·(cosB－cosA)，试判断△ABC的形状．所以0＝(a－b)[(b＋a)2－c2－2ab]＝(a－b)(a2＋b2－c2)，所以a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
法二：(边化角)由正弦定理，得sinA－sinB＝sinC(cosB－cosA)＝sin(A＋B)(cosB－cosA)＝(sinAcosB＋cosAsinB)·(cosB－cosA)＝sinAcos2B－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB－sinBcos2A，
所以sinA(1－cos2B)＝－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB＋sinB(1－cos2A)，
即sinAsin2B＝－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB＋sinBsin2A，【分析】　利用二倍角公式及诱导公式求出C角，结合余弦定理可求出b值．【点评】　熟练应用三角公式化简求角，再结合面积公式及正余弦定理是解决此类综合题的关键，但要注意解关于边或角的方程时根的检验．1．正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．
2．正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决．3．判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注重边角转化桥梁——正、余弦定理．知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用