安徽省A10联盟2021-2022学年高一下学期2月开年考数学试题（Word版含答案）

安徽省A10联盟2021-2022学年高一下学期2月开年考
数学（人教A版）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若扇形的面积为6，圆心角的弧度数为3，则扇形的弧长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于对称
C．图象关于点中心对称 D．图象关于点中心对称
7．已知函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象．一般地，声衰减遵从指数规律，即声强I（单位：瓦/平方米）与传播距离x（单位：米）之间有如下的函数关系：，其中为初始声强，为常数．若某声波传播2米时，声强减小了30%，则声强减小80%时，传播距离大约为（ ）（参考数据：，，）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期是 B．函数是非奇非偶函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最大值为4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．的值为______．
14．已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．
15．若实数，，且，则的最小值为______．
16．已知函数，则______；若，则实数a的取值范围为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
已知集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若______，求实数a的取值范围．
请从①，②，③，这三个条件中选一个填入（Ⅱ）中横线顶处，并完成第（Ⅱ）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．（本题满分12分））
已知角的终边过点，求下面各式的值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
19．（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求在区间上的值域；
（Ⅱ）设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
20．（本题满分12分）
已知函数（其中，，）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，且，求的取值集合．
21．（本题满分12分）
如图，PQMN是半圆的内接矩形，是等腰三角形（P与R在直线OA的两侧），半圆的半径，，，记．
（Ⅰ）当角取何值时，矩形PQMN的面积最大？
（Ⅱ）当角取何值时，五边形PQMRN的面积S最大？并求出这个最大值．
22．（本题满分12分）
已知函数，，．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
（Ⅱ）若函数恰有两个零点，求m的取值范围．
安徽省A10联盟2021-2022学年高一下学期2月开年考
数学（人教A版）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D A C D B AB ABC AD BCD
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C 由题意得，，故选C．
2．B 由全称量词命题的否定形式得，命题“，”的否定是“，”，故选B．
3．A 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式得，解得，．故选A．
4．D ∵，，，∴．故选D．
5．A ∵，∴，
∴．故选A．
6．C 由题意得，，∴，，，故A，B，D错误，又，∴图象关于点中心对称．故选C．
7．D 不等式，则或，即或，解得或，故选D．
8．B 由题意得，，即．设当声波传播x米时，声强减小80%，
则，即，∴，∵，∴，
即，∴，
即，∴．故选B．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．AB 若“，”为真命题，则，，∴，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件a的取值范围为的真子集．故选AB．
10．ABC 因为，在区间上单调递增，故A，B正确；
，在区间上单调递增，故C正确；，在区间上单调递减，故D错误．故选ABC．
11．AD 当时，，故A正确；取，则，故B错误；取，，故C错误；当时，，则，故D正确．故选AD．
12．BCD 由题意得，，
∵，故A错误；
∵，，∴，，故B正确；
当时，，当时，，
则函数的最小值为0，最大值为4，故C，D正确．故选BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．
．
14．
由题意得，，解得．
15．
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为．
16．，（第一空2分，第二空3分）
，∵，，∴为奇函数．
∵，∴为减函数．∵，
∴，∴，解得．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
（Ⅰ）由题意得，．
当时，，∴．
（Ⅱ）选择①：
∵，∴．
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，，舍去，
综上，实数a的取值范围为．
选择②：
当时，，满足；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，，综上，实数a的取值范围为．
选择③：
当时，，，∴，满足题意；
当时，，，
要使，则，解得；
当时，，，
此时，满足题意，综上，实数a的取值范围为．
18．（本题满分12分）
∵的终边过点，∴．
（Ⅰ）原式．
（Ⅱ）原式．
19．（本题满分12分）
（Ⅰ）∵，
∴在上单调递增，∴．
（Ⅱ）由题意得，，易得在上单调递增，
∴任意，成立，
即，∴，
∴，∴，即a的取值范围为．
20．（本题满分12分）
（Ⅰ）由图知，，，解得，
即．由图知，函数的图象过点．
∴，∴，
∵，∴，∴．
（Ⅱ）令，则，
∴或，
解得或．
∵，∴当时，或；当时，或．
综上，的取值集合为．
21．（本题满分12分）
（Ⅰ）在中，，，，
∴，
∴，
∴当时，矩形PQMN的面积最大．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，，
∴，
∴
∵，∴，∴当时，即时，．
即当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为．
22．（本题满分12分）
（Ⅰ），
设，
则
∵，∴，，∴，∴，
故在上单调递增．
（Ⅱ）∵，∴是偶函数，∴由（Ⅰ）知，．
．
令，则，
又方程的根的判别式，的图象开口向上，
故“恰有两个零点”等价于“的零点一个大于2，一个小于2”，
则，解得，即m的取值范围是．