人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
想一想：长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
导入新课
下面图形,是我们学过的什么图形？
18.2.1　矩形
人教版八年级数学 下册
第1课时 矩形的性质
学习目标:
1.归纳矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
3.探索“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质．
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
目标导学一：矩形的性质
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形.
　　你能分别证明这些猜想吗？　
　　矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴，
并用轴对称性质解析矩形的性质．
类比思考　探究性质　　
　　作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有
的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特
殊性质呢？
B　
C　
D　
A　
O
O
B　
C　
D　
A　
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
观察内角和对角线的变化
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
合作探究
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°.
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC = BD ,即矩形的对角线相等.
证明猜想2:矩形的对角线相等.
合作探究
对角线：矩形的对角线互相平分且相等
几何语言：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD
已知：如图,四边形ABCD是矩形,
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°,
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = BD, 即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形轴对称图形
矩形与平行四边形的性质比较
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
精典例题
例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
精典例题
例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
精典例题
　　矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴，
并用轴对称性质解析矩形的性质．
B　
C　
D　
A　
O
O
B　
C　
D　
A　
合作交流
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，其对称轴为两组对边的垂直平分线，对称中心为其对角线的交点
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
知识归纳
例4. 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵
AC=BD=13cm,
∴ 　　AB+BC+CD+DA
=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm).
即矩形ABCD的周长等于34cm.
A D
B C
Ｏ
1.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
即学即练
2．已知: 如图, 过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E ． 求证：∠CAE=∠CEA．
O
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，CD∥AB．
∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴CE=BD，∴AC=CE．
∴ ∠CAE=∠CEA．
即学即练
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
目标导学二：直角三角形斜边上的中线的性质
关于直角三角形斜边上的中线的研究：
A
B
C
D
CD与AB有什么关系呢？
E
证明过程：
因为 四边形ACBE是矩形
所以 AB=CE
DC=DE=DB=DA
所以 CD= AB
归纳：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数字符号表达：
因为 CD是△ABC斜边上的中线
所以 CD= AB
A
B
C
D
例5 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
典例精析
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
　　三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角
三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个
人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
A
B
C
O
拓展延伸
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
　　矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形　
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
课堂小结
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
　
检测目标
　
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
D
检测目标
3. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A．对角线相等的四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形
C．对角线互垂直平分的四边形
D．对角线垂直的四边形
D
检测目标
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于 （ ）
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A
检测目标
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F.若BE＝3，AF＝5，则AC的长为(　　)
A．4 B．4
C．10 D．8
　
A
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点