人教版八年级数学下册 第十八章 18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
知识回顾
A
B
C
D
从一般到特殊
边
角
对角线
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
B
C
D
直角三角形斜边上的中线性质
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
18.2.1　矩形
人教版八年级数学 下册
第2课时 矩形的判定
学习目标：
1. 掌握矩形的各种判定方法
2. 矩形的判定定理与性质定理的综合应用
目标导学一：对角线相等的平行四边形是矩形
回顾平行四边形判定定理的探究过程，想想我们是如何由性质定理猜想出判定定理的？
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
思考 你能证明这一猜想吗？
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
请明猜想
证明
∴ AB=CD, BC=BC（平行四边形对边相等）
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ 四边形ABCD是平行四边（已知）
在 △ABC和△DCB中
AB=CD （已证）
BC=BC （已证）
AC=BD （已知）
∴ ∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）
又∵ ∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补）
∴ ∠ABC=90°（等式的性质）
又∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法：
几何语言：
∵ AC=BD，四边形ABCD是平行四边形 （已知）
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形 ）
A
B
C
D
O
你会怎样检查一个四边形门框是不是矩形吗？
方法2：⑴、先测量两组对边相等，则可判定 它是平行四边形，
⑵、若再测得两条对角线也相等，则可 判定它是矩形。
方法1: 若量得有三个角是直角则可判定它是矩形.
合作交流
　 例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
精典例题
例2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵ ∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A 、对角线相等
B 、对角线垂直
C、对角线互相平分且相等
D、对角线垂直且相等
C
即学即练
2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵ ∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
即学即练
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
目标导学二：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明猜想
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°（已知）
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形 ）
几何语言：
一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
合作交流
例3. 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
证明：∵AB∥CD
　　∴∠ABC＋∠BCD=180°
　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　
例4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又∵AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG＝ ×180°＝90°
∴∠AHB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CFD＝90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
即学即练
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD
是平行四边形；
能力提升：
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
矩形的判定口诀：
任意一个四边形，
三个直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定，
对线相等也矩形。
课堂小结：
矩形的判定
边
角
对角线
一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
两个角是直角的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
1. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，DE∥CA，DF∥BA. 下列四个判断不正确的是（　 　）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC=90°，
那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，
那么四边形AEDF是矩形
D. 如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形
C
检测目标
2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
C
检测目标
3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A.AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
检测目标
4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角线是否垂直
D．测量其内角是否有三个直角
D
检测目标
5．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD∥BC
C
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点