人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
创设情境　引出课题
平行四边形的性质　
矩形的性质　　
对边相等　
对角相等　
对角线互相平分　　
对角线把平行四边　
形分成四个面积相
等的三角形。（中心
对称图形）
　　
对边相等　
四个角都是直角　
对角线互相平分且相等　
对角线把矩形分成四个
面积相等的等腰三角形
（中心对称图形，轴对
称图形）
特殊化　
　 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四
边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们
得到的特 殊的平行四边形是什么，它有什么
特征？
创设情境　引出课题
18.2.2　菱 形
人教版八年级数学 下册
第1课时 菱形的性质
学习目标：
1．归纳、探究菱形的概念和性质。
2. 会用菱形的性质解决简单的实际问题。
学习重点：
菱形性质的探索、证明和应用．
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
目标导学一：菱形的性质
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
温馨提示：菱形的定义有两个要素：
①四边形是平行四边形
②有一组邻边相等，二者缺一不可。
菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质。
A
B
C
D
　　　　你能举出生活中的菱形的实际例子吗？
　　追问：你能画出一个菱形吗？
活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上
有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
归纳总结：
菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
对边相等
四个角都是直角
对角线互相
平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂
直平分，并且每一
条对角线平分一组
对角
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表：
菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
对称性：菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其对角线的交点。
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
精典例题
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
规律
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
即学即练
思考：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
猜想：前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
目标导学二：菱形的面积
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
合作探究
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
菱形的面积：
（1）面积=底×高
（2）面积=两条对角线的长的乘积的一半
S菱形ABCD= AC · BD
方法归纳
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.
求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
精典例题
解：∵花坛ABCD是 ，
∴AC⊥ ,
∠ABO= = ∠ __ = × = .
在Rt△OAB中，AO= = × = ,
(菱形的两条对角线_______________)
BO= = = .
∴花坛的两条小路长 AC=2AO= ,
BD=2BO=____≈__ .
花坛的面积 =4× __
= ·____=_________≈ .
菱形
BD
∠CBO
ABC
60°
30°
AB
20
10
互相垂直平分
20(m)
BD
AC
34.64(m)
346.4(m2)
菱形的两条对角线的长的比为3∶4，面积为24cm2，求菱形的周长.
解：设一条对角线长为3x，则另一条对角线长为4x，
S= ×3x·4x=24，∴x=2.
边长= =5.
∴菱形的周长=4×5=20（cm）.
拓展提升
三个角是直角　
四条边都相等　　
一个角是直角　
对角线相等　　
一组邻边相等　　
对角线互相垂直　　　
两组对边分别平行　
一组对边平行且相等
两组对边分别相等　
两组对角分别相等
对角线互相平分　
四边形 　
平行四边形 　
矩形 　
菱形 　
比较探究
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
1.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是(　　)
A. 1　　　B.2 　　　C. 3　　　D. 4
B
检测目标
2.如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm
C.5cm D.9.6cm
B
检测目标
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A 对角线互相平分
B 对角线相等
C 对角线互相垂直且相等
D 对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
D
检测目标
4.四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
O
解：如图所示
由菱形的性质可得：
AC=2 AO=2×4=8
在Rt△OAB中，
即：BD=2BO=2×3=6
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点