2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章一次函数的导数及其应用单元测试word版含答案

第五章一次函数的导数及其应用 测试卷
(时间：90分钟，满分：100分)
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某质点直线运动的方程为s(t)＝t2＋1，则在时间段[1，2]的平均速度为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．曲线y＝x3－x在点(1，0)处切线的倾斜角为，则tan＝( )．
A．2 B． C．－1 D．0
3．函数y＝cos(2x－1)的导数为( )．
A．y'＝－2sin(2x－1) B．y'＝－2cos(2x－1)
C．y'＝－sin(2x－1) D．y'＝－cos(2x－1)
4．已知f '(x)是函数f(x)的导数，将y＝f(x)和y＝f '(x)的图象在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )．
A B C D
5．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围是( )．
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2) D．(2，＋∞)(－∞，2)
6．已知过点A(a，0)与曲线C：y＝x·ex相切的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )．
A．(－∞，－4)(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)(1，＋∞) D．(－∞，－1)
二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
7．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则( )．
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2
D．f(x)是偶函数
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝e－x(x－1)．则下列结论正确的是( )．
A．当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)
B．函数f(x)有五个零点
C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f(2)
D．x1，x2R，|f(x2)－f(x1)|＜2恒成立
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．
9．若f '(x0)＝2，则＝____________．
10．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f '(x)＞0的解集为____________．
11．已知l1，l2是曲线C：y＝的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为____________．
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2cosx，则函数f(x)在[0，]上的最大值为____________．
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x3－3x2＋a，则f(－2)＝____________，曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程为____________．
四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．(8分)已知函数f(x)＝x3－ax＋b，在点M(1，f(1))处的切线方程为9x＋3y－10＝0，求实数a，b的值．
15．(10分)已知aR，函数f(x)＝x3＋ax2＋2ax(aR)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式f '(x)≤0在R上恒成立，求a的取值范围．
16．(10分)已知曲线y＝与y＝(x－1)2恰好存在两条公切线，求实数a的取值范围．
17．(10分)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1．
(1)讨论函数f(x)的单调性．
(2)设a≤2，求证：对任意x1，x2(0，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．
18．(10分)一个仓库由上下两部分组成：上部分形状是正四棱锥P- A1B1C1D1，下部分形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？
参考答案
一、单项选择题．
1．C．
2．A．
3．A．
4．D．
5．B．
6．A．
二、多项选择题．
7．AC．提示：容易得到，A，C都正确；因为函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，所以f(x)不是偶函数，故D错误；由f(x)＝x ln(l＋x)＝0，解得x＝0，所以f(x)恰有一个零点，故B错误．故选AC．
8．AD．提示：设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝ex(－x－1)，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝ex(－x－1)，即f(x)＝ex(x＋1)，故A正确．
当x＞0时，f(x)＝，所以，
令f '(x)＝0，解得x＝2．当0＜x＜2时，f '(x)＞0；当x＞2时，f '(x)＜0，
所以函数f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减，
故当x＝2时，函数f(x)取得极大值e－2＞0．
当0＜x＜2时，f(0)·f(2)＜0，又f(1)＝0，故函数f(x)在(0，2)内仅有一个零点1．
当x＞2时，f(x)＝＞0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上没有零点，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上仅有一个零点．
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以函数f(x)在(－∞，0)上仅有一个零点－1．
又f(0)＝0，故函数f(x)是定义在R上有3个零点．故B错误．
作出函数f(x)的大致图象，由图可知，
若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是－1＜m＜1．故C错误．
由图可知，对x1，x2R，|f(x2)－f(x1)|＜|1－(－1)|＝2，故D正确．故选AD．
三、填空题．
9．1．
10．(－∞，－1)(－1，1)(3，＋∞)．
11．．
12．．
13．－4，12x－y＋20＝0．
提示：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，
当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝－2x3－3x2，f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，
f '(x)＝6x2＋6x，f '(－2)＝12，故切线方程为y＝12(x＋2)－4，
即12x－y＋20＝0．故答案为－4，12x－y＋20＝0．
四、解答题．
14．解：因为在点M(1，f(1))处的切线方程为9x＋3y－10＝0，所以切线斜率是＝－3，
且9×1＋3f(1)－10＝0，求得f(1)＝，即点M(1，)．
又函数f(x)＝x3－ax＋b，则f '(x)＝x2－a，
所以依题意得 解得
15．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x3＋x2＋2x，所以f '(x)＝－x2＋x＋2．
令f '(x)＞0，则－x2＋x＋2＞0，即x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)．
(2)已知f '(x)≤0对xR都成立，即－x2＋ax＋2a≤0对xR都成立．
即x2－ax－2a≥0对xR都成立，所以＝a2＋8a≤0，解得－8≤a≤0．
16．解：y＝(x－1)2的导数为y'＝2(x－1)，y＝的导数为y'＝．设与曲线y＝相切的切点为(m，n)，与曲线y＝(x－1)2相切的切点为(s，t)，则有公切线的斜率为
2(s－1)＝．又t＝(s－1)2，n＝，有
2(s－1)＝，即为，即有(s＞1)．
又＝2(s－1)，所以(s＞1)．
令f(s)＝(s＞1)，则f '(s)＝．
当s＞3时，f '(s)＜0，f(s)单调递减；当1＜s＜3时，f '(s)＞0，f(s)单调递增，
即当s＝3时，f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln2－3．
由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是a＜2ln2－3．
17．解：(1)由题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝．
当a≥0时，f '(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f '(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1＜a＜0时，令f '(x)＝0，解得x＝．
当x(0，)时，f '(x)＞0；当x(，＋∞)时，f '(x)＜0．
故f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
(2)不妨假设x1≥x2，由(1)可知，当a≤－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1．
令g(x)＝f(x)＋4x，则g'(x)＝．
于是g'(x)≤．
从而g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2．
故对任意x1，x2(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．
18．解：(1)由PO1＝2，得OO1＝4PO1＝8．因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B12·PO1＝×62×2＝24(m3)．
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·OO1＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a(m)，PO1＝h(m)，则0＜＜6，OO1＝4h．连结O1B1．
因为在Rt△PO1B1中，O1B12＋PO12＝PB12，所以()2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积
V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)(0＜h＜6)，
从而V'＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V'＝0，得h＝或h＝(舍)．
(i)当0＜h＜时，V'＞0，V是单调增函数；
(ii)当＜h＜6时，V'＜0，V是单调减函数．
故h＝时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝m时，仓库的容积最大．