2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 7.3.4正切函数的性质与图像教案 word版

7.3.4正切函数的性质与图像
【教学目标】
1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．
2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.
【教学重点】
正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.
【教学难点】
对正切函数周期性的理解.
【教学过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)正切函数有哪些性质？
(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？
二、课前小测
1．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan x　　 B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
答案：C
解析：A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.
2．函数y＝tan的定义域为________．
答案：　
解析：因为2x－≠kπ＋，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z
所以函数y＝tan的定义域为
.
3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
答案：
解析：函数y＝tan 3x的最小正周期是.
4．函数y＝tan的单调增区间是________．
答案：，k∈Z
解析：令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z
得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z
即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z.
三、新知探究
正切函数的图像与性质
解析式 y＝tan x
图像
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ，k∈Z
单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数
四、题型突破
题型一 有关正切函数的定义域、值域问题
【例1】　(1)函数y＝的值域是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
(2)函数y＝3tan的定义域为________．
(3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________．
[思路点拨]　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
答案：(1)B　(2) (3)
解析：(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；
当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，
所以函数的定义域为.
(3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
【反思感悟】
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
【跟踪训练】
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意tan＞0，
即tan＜0，
∴kπ－＜x－＜kπ，
∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B.
2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
解：由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
所以原函数的值域是.
题型二 正切函数奇偶性、周期性和图像的对称性
【例2】　(1)函数f(x)＝tan的周期为________．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图像的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.
[思路点拨]　(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
答案：(1)　(2)，k∈Z　
解析：(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图像的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．
【反思感悟】
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.
【跟踪训练】
3．判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan＋tan.
解：(1)由得
f(x)的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2) 函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
题型三 正切函数单调性的应用
[探究问题]
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
提示：不是．正切函数的图像被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x12．如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？
提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
【例3】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
[思路点拨]　(1)利用y＝tan x在上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．
(2)先将原函数化为y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．
(1) 答案：tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　
解析：y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.
(2)解：y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋π＜x＜＋π，k∈Z，
所以y＝3tan的减区间为(－＋π，＋π)，k∈Z.
【多维探究】
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
解：由kπ－∴函数y＝3tan的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋π) (k∈Z)．
2．将本例(2)中的函数改为“y＝lgtan x”结果又如何？
解：因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．
所以函数y＝lgtan x的单调递增区间
就是函数y＝tan x(tan x＞0)的递增区间，
即，k∈Z.
【反思感悟】
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)
(3)正切函数图像有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)
(4)正切函数是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．若tan x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)
答案：D
解析：因为tan x≥1＝tan.
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.
3．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．
答案：(－，1)
解析：y＝tan(π－x)＝－tan x，
在上为减函数，
所以值域为(－，1)．
4．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及其图像的对称中心．
解：①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，
∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为， k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数图像的对称中心是，k∈Z.
六、本课小结
1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图像，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．
性质 正切函数 正弦函数、余弦函数
定义域 R
值域 R [－1,1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
七、课后作业
1.复习回顾本节内容.
2.完成本节配套课后练习《高一必修三 7.3.4正切函数的性质与图像课时精练（配套）》.