2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步练习题（附答案）
1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）
A．72° B．54° C．36° D．64°
2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）
A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣4 D．16π﹣4
4．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
5．如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）
A．0.5 B． C．1 D．
6．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为　 　cm2．
9．若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是 　 　．
10．如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝　 　°．
11．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 　 　．
12．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为　 　．
13．如图，在边长为6cm的正六边形中，点P在边AB上，连接PD、PE．则△PDE的面积为　 　cm2．
14．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为 　 　．
15．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝　 　．
16．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝1，连接AD，则AD的长为　 　．
17．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
19．如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．
（1）∠BAM＝　 　°；
（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）
20．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
参考答案
1．解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
2．解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
3．解：连接OC、OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB＝90°，∠OCB＝45°，
∴OC＝CBcos45°＝4×＝2．
所以阴影部分的面积＝（S⊙O﹣S正方形ABCD）÷4＝π×（2）2﹣4×4]÷4＝2π﹣4．
故选：A．
4．解：连接OC、OD，如图，
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠COD＝60°，
当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，
当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．
故选：B．
5．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2+，
∴x+x+x＝2+，
解得x＝＝，
∴正八边形的边长为，
故选：D．
6．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，
故选：C．
7．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
8．解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BF，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB sin60°＝2（cm），
∴BF＝2BT＝4（cm），
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF＝ EF BF＝×4×4＝8（cm2），
故答案为8．
9．解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图
正六边形中心角∠AOB＝＝60°，
∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，
∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，
即∠FON＝∠BOM，
在△FON和△BOM中
，
∴△FON≌△BOM（AAS），
∴S△FON＝S△BOM，
∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，
在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，
sin60°＝，
∴OG＝OF＝AF，
∴S△OAF＝AF OG＝AF2，
即2×AF2＝2，
解得AF＝2，
故答案为2．
10．解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠CGF＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
11．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD cos30°＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．
12．解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，
∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，
∴∠AOB＝＝45°，
由圆周角定理得，
∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，
故选答案为22.5°．
13．解：如图所示，连接OD、OE，
此正六边形中DE＝6，
则∠DOE＝60°；
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∵OG⊥DE，
∴∠DOG＝30°，
∴OG＝OD cos30°＝6×＝3（cm），
∴△PDE边DE上的高为2OG＝6（cm），
∴S△PDE＝×6×6＝18（cm2），
故答案为18．
14．解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，
则AF∥BE，
∴四边形AMNF是矩形，
∴MN＝AF＝2，∠FAM＝90°，
∵∠BAF＝＝120°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝1，
同理：EN＝1，
∴BE＝4，EH＝，GH＝，
∴BH＝BE﹣EH＝4﹣＝，
∴BG＝＝＝，
方法二：连接BD，
∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，
∴BC＝CD＝2，DG＝DE＝1，∠C＝∠CDG＝120°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠BDG＝90°，
过C作CH⊥BD于H，
∴∠CHD＝90°，
∴DH＝CD＝，
∴BD＝2，
∴BG＝＝，
故答案为：．
15．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵四边形ABFG是矩形，
∴∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，
故答案为：18°．
16．解：连接AC，
∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵∠BAD＝∠FAD＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2AB＝2，
故答案为：2．
17．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝∠BAF﹣∠FAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
18．解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
19．解：（1）在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，
在正方形AQDP中，∠DAP＝45°，
∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．
（2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．
在正六边形ABCDEF 中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，
AO、BO 平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝×120°＝60°，
∴△ABO 是等边三角形，
∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，
∴AD＝2AO＝8，
在正方形APDQ 中，AP＝DP，∠APD＝90°，
∵AO＝DO，
∴PO＝AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝∠APD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠MHP＝∠AOP＝90°，
∴∠BHO＝90°，
∴sin∠OBH＝，
∵∠OBH＝60°，BO＝4，
∴OH＝4×sin60°＝2，
∵PH＝MH＝OP﹣OH＝4﹣2，
∴MN＝2MH＝8﹣4≈1.1．
20．（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
在四边形BCDF中，
∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，
∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；
（2）证明：如图，连接DB、AD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（SAS），
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠DFB＝90°，
Rt△DAF和Rt△DFB，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），
∴AF＝BF．