2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题（附答案）
1．若等腰三角形的一条边长等于4，另一条边长为9，则这个三角形的周长是（　　）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
2．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
3．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
5．等腰三角形的“三线合一”指的是（　　）
A．中线，高线，角平分线互相重合
B．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合
C．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合
D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合
6．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
7．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是△ABC内一点，且∠PBC＝∠PCA，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
9．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
10．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD＝CE，∠ADC+∠ACD＝104°，则∠DFC的度数为（　　）
A．104° B．118° C．128° D．136°
二．填空题（共9小题）
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　 　．
12．等腰三角形的一边长为4cm，周长为14cm，则该三角形的底边长为 　 　．
13．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，则∠B＝　 　°．
14．已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是 　 　°．
15．已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为　 　．
16．若△ABC的三边分别为m+2，2m+1，8，且△ABC为等腰三角形，则m的值为 　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 　 　时，△ACP是等腰三角形．
18．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠An＝　 　．
19．如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 　 　．
三．解答题（共8小题）
20．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边的长．
21．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N．
（1）求证：MO＝MB；
（2）若AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
22．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为　 　；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
25．已知在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD，BE平分∠ABC，交AC于点E．
（1）求证：∠ABC＝2∠C；
（2）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数．
26．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，且点A坐标为（5，5），P是x轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，求P点的坐标．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
参考答案
1．解：∵等腰三角形的一条边长等于4，另一条边长等于9，
∴①当腰为4时，4+4＜9，三角形不成立，
②当腰为9时，三角形的周长＝9+9+4＝22，
故选：B．
2．解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．
故选：A．
3．解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠DBC＝2∠A，
∵BC＝CD，
∴∠D＝∠DBC＝2∠A，
∵∠ACD＝120°，
∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，
∴∠A＝20°，
故选：C．
4．解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，
∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°，
∴∠B＝25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°，
故选：D．
5．解：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合，
故选：D．
6．解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：A．
7．解：①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
8．解：∵∠BPC＝115°，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PCB+∠PCA＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠A＝180° ∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：A．
9．解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：4x＝180，
解得：x＝45，
此时∠C＝∠B＝45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，
即5x＝180，
解得：x＝36°，
此时∠C＝2∠B＝72°，
综上所述，∠C的度数为45°或72°．
故选：D．
10．解：∵BD＝CD＝CE，
∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD＝104°，
∴∠BDC+∠ECD＝360°﹣104°＝256°，
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE＝360°﹣256°＝104°，
∴∠DCB+∠CDE＝52°，
∴∠DFC＝180°﹣52°＝128°，
故选：C．
11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故答案为：110°或70°．
12．解：当4cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（14﹣4）÷2＝5（cm），三边为5cm，5cm，4cm，能够组成三角形；
当4cm是等腰三角形的腰时，则其底边是14﹣4×2＝6（cm），三边为6cm，4cm，4cm，能够组成三角形．
故答案为：4cm或6cm．
13．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝（180°﹣70°）÷2＝55°．
故答案为：55．
14．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50或80．
15．解：解方程组 得
所以，等腰三角形的两边长为2，1．　
若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
16．解：当m+2＝2m+1时，
解得m＝1，
则m+2＝3，2m+1＝3，
∵3+3＜8，构不成三角形，
∴m＝1时，不成立；
当m+2＝8时，
解得，m＝6，
则2m+1＝13，
∴此时△ABC的三边为：8，8，13，能够成三角形；
当2m+1＝8时，
解得，m＝，
则m+2＝，
∴此时△ABC的周长为：8，8，，能够成三角形；
所以，m的值为6或，
故答案为：6或．
17．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，
当点P在CB上运动时，
由于∠ACP＝90°，
∴只能有AC＝CP，如图1，
∴CP＝6cm，
∴t＝＝3，
当点P在AB上运动时，
①AC＝AP时，如图2，
∴AP＝6cm，PB＝AB﹣CP＝10﹣6＝4（cm），
∴t＝＝6，
②当AP＝CP时，如图3，
此时点P在线段AC的垂直平分线上，
过点P作PD⊥AC于点D，
∴CD＝AC＝3（cm），PD是△ACB的中位线，
∴PD＝BC＝4，
∴由勾股定理可知：AP＝＝5（cm），
∴PB＝5cm，
∴t＝＝6.5；
③AC＝PC时，如图4，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴cos∠A＝＝，
∴AF＝3.6（cm），
∴AP＝2AF＝7.2（cm），
∴PB＝10﹣7.2＝2.8（cm），
∴t＝＝5.4（cm）；
综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．
故答案为：3或6或6.5或5.4．
18．解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝40°；
同理可得，
∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝．
故答案为：．
19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝32°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，
故答案为：42°．
20．解：设腰长为x，底边长为y，
则或，
解得：或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为腰长10，底边长11，或腰长，底边长．
21．（1）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴OM＝BM；
（2）解：由（1）知，OM＝BM，
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCB＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠BCO＝∠NOC，
∴∠NOC＝∠NCO，
∴ON＝CN，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN，
＝AM+OM+ON+AN，
＝AM+BM+CN+AN，
＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝6，
∴△AMN的周长＝7+6＝13．
22．解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
23．解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠2＝22.5°；
故答案为：22.5°．
（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
24．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A＝120°，∠2＝∠1，
∵∠BDC＝2∠1，
∴∠BDC＝2∠2，
∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°，
∴∠2＝20°，
∴∠BDC＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝（180°﹣40°）＝70°．
25．（1）证明：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABC＝2∠C；
（2）解：设∠BAD＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝x°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x°，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB＝2∠C＝2x°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BAD＝36°．
26．解：由题可知OA＝5，分两种情况进行讨论：
（1）当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于两点，即（﹣5，0），（5，0）；以A圆心，OA为半径画弧交x轴于一点，即（10，0）．
（2）当OA为底时，作线段OA的垂直平分线交x轴于一点，即（5，0）．
∴符合条件的点P有4个，坐标为（﹣5，0）或（5，0）或（10，0）或（5，0）．
27．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．