人教版数学 七年级下册 5.1.2 垂线 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
5.1.2垂线
1．能说出垂线的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2．记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理. （重点、难点）
学习目标
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．
1）当a与b所成锐角α为35°时，其余的角分别为多少？
2）当a与b所成锐角α为70°时，其余的角分别为多少？
按照顺时针方式，其余角分别为：145°、35°、145°
知识回顾
按照顺时针方式，其余角分别为：130°、70°、130°
观察结果，你发现了什么？
a与b所成角随木条b的转动而变化
问题2：相交直线形成的四个角中，
按照两个角的位置关系分
类,有哪两种类型的角？
1
2
3
4
A
B
C
D
O
对顶角
邻补角
∠1与∠3，
∠2与∠4.
∠1与∠2，∠2与∠3,
∠3与∠4，∠4与∠1.
A
B
C
D
A
B
C
D
平行
相交
O
问题1：平面上的两条直线有
问题1： 如图是哪些 位置关系？
答：平行和相交 .
新课引入
问题2：两条直线所夹的角中，如果
按照角的大小来分类，又有
哪几种？
1
锐角
直角
钝角
1
1
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质(1)：
新课讲解
如图所示, 村庄A要从河流 l 引水入庄, 需修筑一
水渠, 如何修水渠最短呢？
同学们，请回忆一下曾经学过什么最短的知识？
两点之间，线段最短。
一、垂线段的定义
如图所示，点P是直线l外的一点，PO与直线l垂直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P 到直线l的垂线段.
小 结
过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为( )
①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．
A．2 B．3
C．4 D．5
例1
A
根据垂直定义，可知①正确，②错误；点C 到AB
的垂线段应是线段AC，故③错误；点到直线的距
离是线段的长度而不是线段，故④⑥错误；⑤符
合定义，正确．
分析：
小 结
解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性质，然后根据垂线的定义与性质、垂线段与点到直线距离的概念作出正确的判断即可．所以记忆与理解相结合是学好数学的前提.
二：垂线段的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
P
A
B
C
m
D
简单说成：垂线段最短．
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
A
B
P
D
特别强调：
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引
到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，
沿PC，PD铺设管道．
这两种铺设管道的方案哪一种
更节省材料？为什么？
(忽略河流的宽度)
例2
要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以
CE＋DF＜PC＋PD，所以方案一更节省材料．
解：
导引：
按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜DP，
所以CE＋DF＜PC＋DP.
所以沿CE，DF铺设管道更节省材料．
小 结
本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短”与“两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的应用条件：点到直线的距离，两点间的距离；正确运用解题方法．
三：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
P
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示
l
P
A
解:过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
例3 如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB＝5 cm，则点A到直线BC的距离为______cm，点B到直线AC的距离为______cm，点C 到直线AB的距离为______cm.
4
3
2.4
导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm.
小 结
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决此类问题的关键．解决此类问题应注意：
(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也不是垂线段；
(2)距离表示线段的长度，是一个数量，与线段不能等同；
(3)用垂线段的长度表示点到直线的距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形结合思想．
思考
（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
性质1
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
P
l
l
P
练一练
过点Ｐ画出射线AB或线段AB 的垂线。
性质2
（1）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？
（2）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
（3）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短．
性质
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．
1、在同一平面内，下列语句正确的是(　　)
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
C
小试牛刀
2、如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为_________°.
45
3、如图，已知直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，且OE平分∠AOC，若∠EOC＝60°，则∠BOF＝______________．
30°
1、如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．70°
C
课堂练习
2、 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
3、若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是 ______。（用符号表示）
O
m
n
1
m⊥n
O
C
B
D
A
90°
4、若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝___。
5、如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，
∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
6、如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为点A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B到直线AC的距离是________，点A到直线BC的距离是__________．
6 cm
5 cm
归纳总结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四个角中有一个角是直角即可．
课堂总结
知识小结
以下几个方面由学生自己总结:
① 垂线的定义及垂直的符号表示;
② 垂线的有关性质;
③过一点作已知直线的垂线的方法.
课堂总结