8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含解析）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.(2019湖南长沙雅礼中学高一上期末)圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为 (　　)
A.π　　　B.3π　　　C.2π　　　D.4π
2.(2020湖南长沙一中高一上第二次阶段性考试)已知圆锥的母线长为5,高为4,则这个圆锥的表面积为(　　)
A.21π　　　B.24π　　　C.33π　　　D.39π
3.(2021河北邯郸六校高一下期中联考)已知圆台的上底面面积是下底面面积的,母线长为4,若圆台的侧面积为16π,则圆台的高为 (　　)
A.2　　　B.2　　　
C.5　　　D.2
4.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 (　　)
A.120°　　　B.150°　　　
C.180°　　　D.240°
5.(多选)(2021河北任丘一中高一下月考)如图,圆柱的轴截面是四边形BCC1B1,AA1是圆柱的一条母线,已知AB=4,AC=2,AA1=3,则下列说法正确的是 (　　)
A.圆柱的侧面积为2π
B.圆柱的侧面积为6π
C.圆柱的表面积为6π+12π
D.圆柱的表面积为2π+6π
题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积
6.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是 (　　)
A.　　　
C.64π　　　D.128π
7.(2021安徽卓越县中联盟高一下期中)已知圆台的上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为,则圆台的体积为 (　　)
A.π
C.254π　　　D.127π
8.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,则圆柱与圆锥的体积的比值为　　　　.
题组三　球的表面积和体积
9.(2021陕西延安高二上期末)用一个面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为 (　　)
A.　　　
C.
10.已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为 (　　)
A.1∶　　　B.1∶3　　　
C.1∶9　　　D.1∶27
11.有三个球与一个正方体,第一个球与正方体的各个面相切,第二个球与正方体的各条棱相切,第三个球过正方体的各个顶点,则第一、二、三个球的表面积之比为(　　)
A.1∶2∶3　　　B.1∶
C.1∶2∶3
12.64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;1个直径为a的球,记它的体积为V乙,表面积为S乙,则 (　　)
A.V甲>V乙且S甲>S乙　　　B.V甲C.V甲=V乙且S甲>S乙　　　D.V甲=V乙且S甲=S乙
题组四　简单组合体的表面积和体积
13.某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为 (　　)
A.20　　　B.4+12
C.16　　　D.4+8
14.(2021安徽黄山高二上期末)在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为 (　　)
A.　　　D.2π
能力提升练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)若圆锥的高h和底面半径r之比为2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为 (　　)
A.18π　　　B.9(1+2)π
C.9π　　　D.9(1+)π
2.()已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为 (　　)
A.8∶15
C.2∶33
3.(2021江苏南通高一下期中,)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载了求“囷盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率的值近似取为3.那么近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中π的值近似取为 (　　)
A.　　　D.3
4.(多选)(2021浙江A9协作体高一下期中,)某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于该圆锥的说法正确的是 (　　)
A.该圆锥的侧面展开图的圆心角为
B.该圆锥的体积为9π
C.过该圆锥的两条母线作截面的面积的最大值为8
D.该圆锥轴截面的面积为
5.()现有一个圆柱和一个长方体,它们的底面面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱的体积为4π,则根据祖暅原理可推断圆柱的高 (　　)
A.有最小值π　　　B.有最大值π
C.有最小值4π　　　D.有最大值4π
6.(2020浙江宁波余姚中学高二上期中,)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积是　　　　;若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是　　　　.
7.(2020福建南平高一上期中,)用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积的比值为　　　　.
8.(2021鄂西北六校高一下期中联考,)已知母线长为4的圆锥的侧面展开图为半圆.
(1)求圆锥的底面面积;
(2)如图所示,在该圆锥内放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
9.(2019上海行知中学高二下期中,)如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
题组二　球的表面积和体积
10.(2021安徽合肥六校高二上期末联考,)把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为 (　　 )
A.
11.(2021河南郑州高一上月考,)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,且AB=,BC=,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为 (　　)
A.
12.(2020河南三门峡高一上期末,)麻团又叫煎堆,呈球形,是一种传统特色油炸面食,制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好能放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒的上底面、下底面、侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576 cm2,则一个麻团的体积为 (　　)
A.36π cm3　　　B.48π cm3
C.24π cm3　　　D.72π cm3
13.(2020重庆八中高二上月考,)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何体,就是圆柱容器里放了一个球,这个球“顶天立地”,四周碰边,如图,若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1,圆柱的表面积和体积分别为S2和V2,则 (　　)
A.
C.的大小关系不确定
14.()已知球、母线长和底面直径相等的圆柱、正方体的体积依次为V1,V2,V3,若它们的表面积相等,则= (　　)
A.
C.6∶4∶π　　　D.3∶2∶π
题组三　简单组合体的表面积和体积
15.(2021江苏南京师大附中高一下期中,)如图,四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为正方形,侧棱AA'⊥底面ABCD,AB=3,AA'=6,以D为圆心,DC'为半径在侧面BCC'B'上画弧,当半径的端点完整地划过弧C'E时,半径扫过的轨迹形成的曲面面积为 (　　)
A.π
C.π
16.(2020山西高二上期中联考,)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看成半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,要使酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为 (　　)
A.
C.
17.(2021河北任丘一中高一下月考,)一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球的表面积的,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.
(1)试确定R与r的关系,并求出大圆锥与小圆锥的侧面积之比;
(2)求两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
答案全解全析
基础过关练
1.D　因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积S=2π×12+2π×1×1=4π.
故选D.
2.B　由题意得,圆锥的底面半径为=3,则底面圆的周长为6π,所以圆锥的侧面积是×6π×5=15π,又底面面积为9π,
所以圆锥的表面积为15π+9π=24π.故选B.
3.B　设上底面的半径为r(r>0),因为圆台的上底面面积是下底面面积的,所以下底面的半径为3r,又母线长为4,圆台的侧面积为16π,所以S侧=π(r+3r)×4=16π,解得r=1,所以3r=3,所以圆台的高为,故选B.
4.A　设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πrl+πr2=4πr2,∴l=3r,
∴圆锥的侧面展开图的圆心角为=120°.故选A.
5.BC　因为四边形BCC1B1是圆柱的轴截面,AA1是圆柱的一条母线,AB=4,AC=2,AA1=3,所以圆柱的底面半径r=,所以圆柱的侧面积S=2πr×AA1=6π,故选项A错误,B正确.
圆柱的表面积S'=S+2S底面=6π+2π×()2=6π+12π,故选项C正确,D错误.故选BC.
6.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h(r,l,h>0).
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形,
∴2r=,即l=r.
由题意得,S侧=πrl=π,∴r=4(负值舍去),
∴l=4,∴h==4,
∴圆锥的体积为.
故选A.
7.A　因为圆台的上、下底面的面积分别为36π和49π,所以圆台的上、下底面的半径分别为6,7,因为圆台的母线长为,所以圆台的高h==2,所以圆台的体积V=π(62+6×7+72)×2=π.故选A.
8.答案　
解析　设圆柱与圆锥的底面半径分别为r,R,高均为h,
则2rh=×2Rh,∴R=2r,
∴圆柱和圆锥的体积的比值为.
9.C　如图,过球心O作OO'垂直于该圆面,垂足为O',连接O与圆面上一点A,则OO'=4,O'A==3,
所以OA==5,
故球的体积V=.故选C.
10.D　设两个球的半径分别为R1,R2.
由题意知,,∴,
∴两个球的体积之比为,故选D.
11.A　设正方体的棱长为2,则第一个球的半径为棱长的一半,为×2=1.
第二个球的半径就是正方体中相对棱的距离,即面对角线长的一半,为.
第三个球的半径为体对角线长的一半,为.
所以第一、二、三个球的表面积之比为4π×12∶4π×()2∶4π×()2=1∶2∶3.
12.C　V甲=64×,S甲=64×4π×=4πa2,V乙=,S乙=4π×=πa2.
故V甲=V乙且S甲>S乙,故选C.
13.A　由题意得,正四棱锥P-EFGH的斜高为=2,故该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4××2×2=20.故选A.
14.C　由题意可知旋转后的几何体如图:
直角梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后得到的组合体,所以该组合体的体积V=V圆柱-V圆锥=π×12×2-.故选C.
能力提升练
1.D　由题意得h=2r,设圆锥的母线长为l.
∵圆锥的体积V=18π,∴=18π,解得r=3,∴h=6,
∴l=,
∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.故选D.
2.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h1,则πr2=×πrl,所以l=2r,所以圆锥的高h1=r,圆锥的体积为πr3.
由题意知,圆柱的底面半径为,设圆柱的高为h2.
因为圆锥与圆柱的表面积相等,所以πr2+πr×2r=2π×h2,解得h2=r,
所以圆柱的体积为ππr3.
所以圆锥与圆柱的体积之比为∶15.故选A.
3.A　设圆锥的底面半径为r,则L=2πr,所以(2πr)2h,
解得π≈,故选A.
4.AC　因为圆锥的底面半径为3,母线长为4,所以圆锥的高h=.
对于A,因为圆锥的底面半径为3,所以圆锥的底面周长为2π×3=6π,又因为圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为,故A选项正确.
对于B,由题意得圆锥的体积V=π,故B选项不正确.
对于C,设圆锥的两条母线的夹角为θ,过这两条母线作截面的面积为×4×4×sin θ=8sin θ,易知圆锥的轴截面三角形中θ最大,此时cos θ=,所以θ是钝角.所以当θ=时,截面的面积有最大值,最大值为8,故C选项正确.
对于D,易知圆锥的轴截面的面积为,故D选项不正确.
故选AC.
5.C　由题意得,长方体的体积为4π.
设圆柱的高为h,长方体的底面相邻两边长分别为x,y,则x+y=2,
∵xy≤=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴h=≥4π.故选C.
6.答案　;
解析　设圆柱的底面半径为R,则2πR=2,故R=.
又圆柱的高为2,所以圆柱的体积为π×.
设圆锥的底面半径为r,则展开后的扇形弧长为2πr,
又扇形圆心角为120°=,半径为1,故,所以r=,故圆锥的侧面积为π×,表面积为.
故圆锥的表面积与侧面积的比值是.
7.答案　
解析　由题意得,圆柱的底面圆的周长为2R.设圆柱的底面圆的半径为r1,则2πr1=2R,即r1=.
又圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为π.
由题意得,圆锥的底面圆的周长为πR.
设圆锥的底面圆的半径为r2,则2πr2=πR,即r2=,所以圆锥的高为R,
所以圆锥的体积为.
所以圆柱与圆锥的体积的比值为.
8.解析　(1)将圆锥沿母线AB剪开,侧面展开图是以4为半径的半圆,
设OB=R,则AB=4,半圆的弧长为4π,
所以2πR=4π,所以R=2,
故圆锥的底面面积为πR2=12π.
(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO==6,
易知△AO1D1∽△AOB,
所以,即,
所以h=6-r,
所以圆柱的侧面积S=2πrh=2πr(6-r)=-2π(r2-2r)
=-2π(r-)2+6π,0所以当r=时,圆柱的侧面积最大,
此时h=3,所以V圆柱=πr2h=9π.
9.解析　(1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,
圆柱的体积为π×12×2=2π.
(2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC'的位置,使C',A,B三点共线,且C'在AB的反向延长线上,连接C'D,此时C'D与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.
∵PA=AB=2,
∴∠PBA=,BD=,
又BC'=BA+AC'=2+1=3,
∴在△C'BD中,由余弦定理得C'D=,
∴CE+ED的最小值为.
10.D　由题意可知,圆锥的体积V=πr2h,设球的半径为R,则πr2h,所以R=.故选D.
11.B　∵AB=,BC=,AC=2,
∴PA2+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4,
∴PA=1,PC=,PB=2,
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,
则此长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球.
∵长方体的体对角线长为,
∴球的直径d=2,半径R=,
∴三棱锥P-ABC外接球的体积是π×()3=.故选B.
12.A　设麻团的半径为r cm.
因为麻团与长方体纸盒的上底面、下底面、侧面都相切,
所以长方体的长为4r cm,宽为4r cm,高为2r cm.
又长方体的表面积为576 cm2,所以32r2+16r2+16r2=576,所以r=3,故麻团的体积为πr3=36π(cm3).
13.B　设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
∴V2=πR2×2R=2πR3,V1=πR3,S2=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S1=4πR2,
∴,
,
∴.故选B.
14.C　设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,正方体的棱长为a.
由它们的表面积相等,
得4πR2=2πr2+2πr·2r=6a2,
则R2∶r2∶a2=,
所以=6∶4∶π.故选C.
15.A　连接EC',EC,由题意得CE=CC'=AA'=6,DE=DC'=,
连接BD,则BD⊥BE,又四边形ABCD是正方形,所以BD=AB=6,所以BE==BC,所以∠BCE=45°,所以∠ECC'=45°,
所以曲面面积占以D为顶点,DC'为母线的圆锥的侧面积的,因为圆锥的侧面积S=π×CC'×DC'=π×6×3π,
所以曲面面积为18π.
故选A.
16.D　设圆柱的高为h,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=-πR2,
所以V=πR3,
解得R≥.
又h>0,所以-πR2>0,
解得R<.
所以.故选D.
17.解析　(1)由已知得球的表面积为4πR2,
∴圆锥的底面面积为πr2=×4πR2,解得r=R,
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形的三边长,
则球心到圆锥底面的距离OO1=R,
∴小圆锥的高为R-R,母线长为=R,
同理可得大圆锥的高为R+R,母线长为R,
∵这两个圆锥具有公共的底面,
∴这两个圆锥的底面半径相同,
∴大圆锥与小圆锥的侧面积之比为它们的母线长之比,即∶1.
(2)由(1)可得两个圆锥的体积之和为,球的体积为,
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为=3∶8.