8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础过关练
题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.(2021四川眉山高二上期末)棱长为2的正四面体的表面积是 (　　)
A.
2.(2021安徽卓越县中联盟高一下期中)长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线长为,则这个长方体的表面积为 (　　)
A.12　　　B.22　　　C.32　　　D.44
3.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此三棱锥的侧面积等于　　　　.
4.(2021江西景德镇一中高一下期末)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小正棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为　　　　.
5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为　　　　.
6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.
(1)求这个四棱锥的侧棱长;
(2)求这个四棱锥的表面积.
题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 (　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.6
8.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为,那么这个四棱锥的体积为 (　　)
A.
9.(2021浙江杭州外国语学校高二上期中)在一个棱锥中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则棱锥被截面所分成的两部分的体积之比为 (　　)
A.1∶　　　B.1∶9　　　C.1∶3　　　D.(1+3)∶26
10.(2020江苏徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P为棱AA1的中点,若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为9,则三棱锥C1-PBC的体积为　　　　.
11.(2020豫南九校高一上联考)一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为,则它的侧面积为　　　　.
12.已知点P为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点,若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为　　　　.
13.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1、O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=,AB=2.
(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.
能力提升练
题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.(2021四川泸州泸县五中高二上月考,)堑堵是指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马是指底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.现有如图所示的堑堵ABC-A1B1C1,AC⊥BC,AA1=AB=2.当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1的表面积为 (　　)
A.8+6
2.()若正四棱锥的斜高是高的倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为　　　　.
3.(2021安徽合肥瑶海高一下期中,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=a,D是BC边上的一点,且AD为∠BAC的平分线,若三棱柱ABC-A1B1C1截去三棱锥C1-ACD后所得几何体的表面积为3+18,求a的值.
题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积
4.()《九章算术》中,将如图所示的几何体称为刍薨,底面ABCD为矩形,且EF与底面ABCD平行.设EF到平面ABCD的距离为h,BC=a,AB=b,EF=c,若=2,则= (　　)
A.　　　D.1
5.(2019辽宁葫芦岛高一上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1B和B1C1的中点,则三棱锥A1-MNC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为(　　)
A.1∶4　　　B.1∶5　　　
C.1∶6　　　D.1∶7
6.(2020浙江宁波效实中学高二期中,)如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为V,AB=2A1B1,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分的体积为 (　　)
A.V
7.(多选)()在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是 (　　)
A.
8.(多选)(2020福建厦门高一下期中,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是 (　　)
A.直三棱柱的侧面积是4+2
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE+EC1的最小值为2
9.(2020安徽合肥一中高一下期末,)正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD体积的比值是　　　　.
答案全解全析
基础过关练
1.D　棱长为2的正四面体的表面积是指四个边长为2的正三角形面积之和,所以表面积为4×.
2.B　因为长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,所以设这三条棱长分别为k,2k,3k,k>0,则长方体的体对角线长为,所以k=1,故这三条棱长分别为1,2,3,所以长方体的表面积S=2×(3×2+1×3+1×2)=22,故选B.
3.答案　a2
解析　如图所示,在正三角形ABC中,OB=a.
所以在直角三角形POB中,PB=a,
所以在等腰三角形PAB中,底边AB上的高为,所以此三棱锥的侧面积为3×a2.
4.答案　5+3
解析　如图所示:
设截面四边形为A1B1C1D1,由题意可知,截面四边形A1B1C1D1与底面四边形ABCD相似且面积之比为1∶4,则,由PA1=2可得PA=PB=4,由BC=2,可得B1C1=1,取BC的中点E,连接PE,交B1C1于点E1,则EE1为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的斜高,则EE1=×(1+2)×.
5.答案　
解析　设正四棱台的高、斜高分别为h、h'(h>0,h'>0).
由题意得,4××(1+2)×h'=12+22,解得h'=.
根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形,可得h2+,所以h=.
6.解析　(1)在Rt△SOM中,OM=.
在Rt△SBM中,SM=11,BM=OM=,
∴侧棱长SB=.
(2)结合(1)得,S侧=4×,S底=BC2==228,
∴S表=44+228.
7.B　因为AB⊥AC,所以S△ABC=,所以×2=3.故选B.
8.B　由题意设正四棱锥的棱长为a(a>0),
则其斜高为,因此a=2,所以正四棱锥的高为,所以这个四棱锥的体积为.故选B.
9.D　设小棱锥的高为h1,体积为V1,底面面积为S1,原棱锥的高为h2,体积为V2,底面面积为S2,易得,,所以,
所以,所以.故选D.
10.答案　3
解析　如图所示.
×9=3.
11.答案　4
解析　设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为2a,则底面面积为4a2,斜高为a,高为a,所以,解得a=1.
所以S侧=.
12.答案　
解析　设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在侧棱AA1上,所以.
又V1=V1+V,
所以V1=.
13.解析　(1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为,下底面面积为,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为.
(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,
易得O1M1=,OM=1,
所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M=,
所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为
3×.
能力提升练
1.C　设AC=x,BC=y,x>0,y>0,
则x2+y2=4.
由题意得阳马B-A1ACC1的体积V=(x2+y2)=,当且仅当x=y=时取等号,
此时堑堵ABC-A1B1C1的表面积S=2(x+y+2)+2×.
2.答案　2∶1
解析　设正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a(h',h,a>0),
则h'=h,a=2h.
∴该正四棱锥的侧面积为4×h2,底面积为a2=h2,
∴该正四棱锥的侧面积与底面积之比为2∶1.
3.解析　由题意得AD=a,C1D=a,
AC1=a,
∴AD2+C1D2=A,∴AD⊥DC1,
∴,
∴,∴a=2.
4.D　由题意得VE-ABD=VF-BCD=abh,∵,VB-DFC=VF-BCD,
∴VB-DEF=ach,
∴VB-CDEF=VB-DEF+VB-DFC=(b+c)ah.
∵=2,∴=2,
∴=1.故选D.
解后反思
计算棱锥的体积时,可以用等积转化法,也可以将棱锥的底面进行转化,还可以将棱锥的高进行转化.
5.C　连接BN,因为M是A1B的中点,所以.
又,
所以,所以=1∶6.故选C.
6.C　设三棱台的高为h,上底面A1B1C1的面积为S上,下底面ABC的面积为S下.
因为AB=2A1B1,所以S下=4S上,
所以三棱台的体积V=(S上+S下+)h=(5S上+)h=S上h.
又三棱锥A1-ABC的体积为V,
所以剩余部分的体积为V-V.
7.BC　由题意得,△PBC是边长为1的正三角形,所以S△PBC=.设三棱锥A-PBC的高为h,0又h∈(0,1],所以该四面体的体积VP-ABC∈.故选BC.
8.ACD　由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以三棱柱的侧面积为1×2×2+,故A正确;
直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B不正确;
因为点E是侧棱BB1上的一个动点,所以以△AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又,所以,故C正确;
将平面BB1C1C翻折至与平面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,则E为BB1的中点,
此时AE+EC1的值最小,最小为2,故D正确.
9.答案　
解析　如图所示,三棱锥A-B1CD1可由正四棱锥P-ABCD截去四个小三棱锥得到.设正四棱锥P-ABCD的体积为V,
因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,
所以V,
易得V,
故三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD的体积的比值是.