8.6.2直线与平面垂直同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

8.6.2　直线与平面垂直
基础过关练
题组一　直线与平面垂直的判定及性质
1.下列说法中正确的个数是 (　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.
A.4　　　B.2　　　C.3　　　D.1
2.(2020陕西渭南高三上期末)给定空间中的直线l及平面α,则“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 (　　)
A.充要条件　　　B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件　　　D.既不充分也不必要条件
3.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在平面的位置关系是 (　　)
A.垂直　　　B.平行 C.直线在平面内　　　D.无法确定
4.(2020湖南长沙高一期中)如图所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.给出下列关系:①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中关系成立的有 (　　)
A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.③④
5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,BO的延长线交AC于点D, 则图中与AC垂直的直线有 (　　)
A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则 (　　)
A.AD1⊥B1E 　B.AD1∥B1E C.AD1与B1E相交　　　D.以上都不对
7.如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
8.(2020河南焦作高一上期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,AD=,BC=AP=2CD=2,E是棱PC上一点,F是AB的中点.
(1)证明:CF∥平面ADE;
(2)若PE=3EC,O为点E在平面PAB上的射影,求四棱锥P-ADEO的体积.
题组二　直线与平面所成的角
9.(2021山西名校联盟高二上期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 (　　)
A.
10.(2021河南开封高一上期末)如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PBC和底面ABC均为等边三角形,点P在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,则直线AP与底面ABC所成角的正切值为 (　　)
A.
11.(2020山东济南外国语学校高二下月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=,则AA1与平面AB1C1所成的角为 (　　)
A.
12.(2021江苏常州溧阳高二上期末)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,SD⊥平面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.
(1)证明:EF⊥CD;
(2)若SD=8,求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值.
题组三　点到平面的距离
13.(2020安徽宿州十三所重点中学高二上期末)如图,四面体A-BCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为,则B到平面ACD的距离为 (　　)
A.
14.(2020福建福州第一中学高一下期末)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,平面ABCD是菱形,AA1=4,AB=6,∠BAD=,E是BC的中点,则点C到平面C1DE的距离为　　　　.
15.(2020辽宁丹东高三上期末)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
能力提升练
题组一　直线与平面垂直的判定与性质
1.(2021重庆缙云教育联盟高二上期末,)如图,三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,则顶点P在底面ABC上的射影O为△ABC的 (　　)
A.内心　　　B.外心　　　C.重心　　　D.垂心
2.()在正四棱锥S-ABCD中,E、M、N分别是BC、CD、SC的中点,动点P在线段MN上运动,则下列四个结论不一定成立的为 (　　)
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
A.①③　　　B.③④　　　C.①②　　　D.②④
3.(2021浙江金华十校高考数学模拟,)在四面体A-BCD中,AB=,BC=BD=2,AB⊥平面BCD,BE⊥AC于E,BF⊥AD于F,则 (　　)
A.AC可能与EF垂直,△BEF的面积有最大值
B.AC不可能与EF垂直,△BEF的面积有最大值
C.AC可能与EF垂直,△BEF的面积没有最大值
D.AC不可能与EF垂直,△BEF的面积没有最大值
4.(2020重庆第八中学高二上期末,)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是(　　)
A.　　　B.[0,1] C.　　　D.[1,]
5.(多选)(2020江西新余八校高二期中联考,)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1 平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻折的过程中,下列说法正确的有 (　　)
A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B.异面直线BM与A1E所成的角是定值
C.一定存在某个位置,使DE⊥MO
D.三棱锥A1-ADE外接球的半径与AD的比值为定值
6.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在△ABC中,AB⊥BC,D、E分别为AB、AC边的中点,且AB=4,BC=2,现将△ADE沿DE折起,使得A到A1的位置,且∠A1DB=60°,则A1C=　　　　.
7.(2020福建厦门外国语学校高三上月考,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,∠BAA1=,D为AA1的中点,点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.
(1)求证:B1D⊥平面CBD;
(2)若△CBD是正三角形,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
题组二　直线与平面所成的角
8.(2020四川乐山高二上期末,)在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,PA⊥平面ABC,如果PB、PC与平面ABC所成的角分别为30°和60°,那么PD与平面ABC所成的角为 (　　)
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.75°
9.(多选)(2021河南郑州高一下期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的是 (　　)
A.AC⊥AF B.AC⊥平面BEF
C.AB与平面BEF所成的角是45°D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
10.(2021江苏南京宁海中学高二上期末,)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点(含边界),若A1P∥平面AEF,则点P的轨迹长度为　　　　,直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是　　　　.
11.(2020北京延庆高二下期末,)从①CD⊥BC,②CD∥平面PAB这两个条件中选一个,补充在下面问题中,并解答.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=CD=1,PC=3,　　　　.
(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
题组三　空间距离
12.(2020浙江镇海中学高三下月考,)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BED的距离为 (　　)
A.2　　　B.　　　D.1
13.(2020重庆南开中学高二上期末,)如图所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,∠DAB=60°,过体对角线BD1的截面α与棱AA1和CC1分别交于点E、F,给出下列命题:
①四边形BED1F的面积的最小值为2;
②直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为;
③四棱锥B1-BED1F的体积为定值;
④点B1到截面α的距离的最小值为.
其中所有的真命题为 (　　)
A.①②③　　　B.①③④　　　C.①③　　　D.②④
14.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
答案全解全析
基础过关练
1.B　易知①②是错误的,③④是正确的.故选B.
2.C　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,该直线未必与平面α垂直,即充分性不成立;直线l与平面α垂直,则直线l与平面α内任意一条直线都垂直,所以直线l与平面α内无数条直线都垂直,即必要性成立.故选C.
3.A　因为梯形的两腰所在的直线必相交且与梯形两底所在的平面为同一平面,所以由线面垂直的判定定理可得垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面必垂直.
故选A.
4.B　∵SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,∴SG⊥平面EFG,同理可得GF⊥平面SEG,
∴GF⊥SE,故①③成立.
若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,故②不成立.
易得SE与EF不垂直,故④不成立.故选B.
5.D　∵PO⊥平面ABC,AC 平面ABC,
∴PO⊥AC.又∵AC⊥BO,且BO∩PO=O,
∴AC⊥平面PBD,∴直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直.故与AC垂直的直线有4条.
6.A　连接A1D,则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,又A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E 平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E.故选A.
7.证明　(1)∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.
(2)由(1)知BC⊥平面PAB,
又AE 平面PAB,∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE,BC∩PB=B,∴AE⊥平面PBC.
(3)由(2)知AE⊥平面PBC,
又PC 平面PBC,∴AE⊥PC.
∵AF⊥PC,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF.
8.解析　(1)证明:如图,连接AC.
∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,
∴AC==2,∴AC=BC,
∵F为AB的中点,∴CF⊥AB.
∵AB⊥AD,∴CF∥AD,
又AD 平面ADE,CF 平面ADE,∴CF∥平面ADE.
(2)连接PF.由(1)知CF⊥AB,∵PA⊥平面ABCD,CF 平面ABCD,∴PA⊥CF,
又PA∩AB=A,∴CF⊥平面PAB.
由O为E在平面PAB上的射影可得OE⊥平面PAB,∴EO∥CF,即点O在线段PF上,∴OE∥AD.
∵AO 平面PAB,∴OE⊥OA,AD⊥OA.
易知四边形ADCF为矩形,∴AF=CD,AD=CF.
∵PE=3EC,∴PO=3OF,OE=AD,
S四边形ADEO=(EO+AD)·AO=S△AOD.
∴VP-ADEO=VD-AOP,
S△AOP=,
∴VD-AOP=,
∴VP-ADEO=.
9.D　连接A1C1.
由题意得AA1⊥平面A1B1C1D1,
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角.
∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3,
∴sin∠AC1A1=.
10.B　如图,连接AO并延长,交BC于点D,连接PD,
则∠PAO即为直线AP与底面ABC所成的角.
因为侧面PBC和底面ABC均为等边三角形,O为△ABC的中心,
所以D为BC的中点.
设BC=6,则PD=,
AO=,OD=,
所以OP=,
所以tan∠PAO=.
11.A　过A1作A1O⊥平面AB1C1,垂足为O.∵AB=AC,∴A1B1=A1C1,AB1=AC1.
取B1C1的中点D,连接A1D,AD,则点O在AD上,
∴∠A1AD是直线AA1与平面AB1C1所成的角.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴A1A⊥A1D.
在Rt△AA1D中,tan∠A1AD=,∴∠A1AD=,
∴AA1与平面AB1C1所成的角为.
故选A.
12.解析　(1)证明:因为SD⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以SD⊥CD.
取CD的中点O,连接EO,FO.
因为点E,F分别为AB,SC的中点,底面ABCD是正方形,
所以EO∥AD,FO∥SD,
所以EO⊥CD,FO⊥CD,
又EO∩FO=O,EO,FO 平面OEF,
所以CD⊥平面OEF.
又EF 平面OEF,所以EF⊥CD.
(2)由(1)可知,FO∥SD,
因为SD⊥平面ABCD,
所以FO⊥平面ABCD,
所以∠FEO即为直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FEO中,OF=SD=4,OE=AD=4,∠FOE=90°,
所以∠FEO=45°,
所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为sin 45°=.
13.B　连接AE.∵AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,∴AB⊥平面BCD,
∵CD 平面BCD,∴AB⊥CD.
∵BC=BD,E为CD的中点,
∴CD⊥BE.
又CD⊥AB,AB∩BE=B,
∴CD⊥平面ABE,
∴AB在平面ACD上的射影在直线AE上,
∴∠BAE就是直线AB与平面ACD所成的角.
在Rt△ABE中,由BE=,sin∠BAE=,可得AE=3,AB=4.
设点B到平面ACD的距离为h,∵VA-BCD=VB-ACD,∴S△ACD×h,
即×h,解得h=.
故选B.
14.答案　
解析　连接BD,由四边形ABCD是菱形,∠BAD=,可得△BDA与△BCD均为正三角形,∴BD=AB=CD=BC.
∵E是BC的中点,∴DE⊥CB.
∵A1A⊥平面ABCD,A1A∥C1C,∴C1C⊥平面ABCD.∵DE 平面ABCD,∴C1C⊥DE.
又∵DE⊥CB,CB∩C1C=C,∴DE⊥平面BB1C1C.∵C1E 平面BB1C1C,∴DE⊥C1E,
∴.
设点C到平面C1DE的距离为h,由,得·h,
即h,解得h=.
15.解析　(1)证明:∵PA=PC=AC=4,O为AC的中点,∴OP⊥AC,且OP=2.
连接OB,如图,
∵AB=BC=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,∴OB=AC=2,
∴OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB.
又∵OP⊥AC,OB∩AC=O,
∴PO⊥平面ABC.
(2)过点C作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得OP⊥CH,又OM∩OP=O,∴CH⊥平面POM,
∴CH的长即为点C到平面POM的距离.
由题设可知,OC=AC=2,CM=,∠OCM=45°,
在△OCM中,由余弦定理得OM=,
∴CH=,
∴点C到平面POM的距离为.
能力提升练
1.D　连接AO,BO,CO.∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC 平面PBC,
∴PA⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴PA⊥BC.
由题意知PO⊥平面ABC,
∵BC 平面ABC,∴PO⊥BC.
又PA∩PO=P,
∴BC⊥平面PAO,
又AO 平面PAO,∴BC⊥OA.
同理可证AB⊥OC,AC⊥OB,
故O为△ABC的垂心.
故选D.
2.D　对于①,设AC∩BD=O,连接SO,易知SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC.又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,SO 平面SBD,BD 平面SBD,∴AC⊥平面SBD.
连接EN,EM,∵E、M、N分别为BC、CD、SC的中点,∴EN∥SB,MN∥SD,
∵NM 平面SBD,SD 平面SBD,∴MN∥平面SBD,同理EN∥平面SBD,
又MN∩EN=N,∴平面EMN∥平面SBD,
∴AC⊥平面EMN,又EP 平面EMN,∴EP⊥AC,∴①一定成立.
对于②,当且仅当P与M重合时,EP∥BD,∴②不一定成立.
对于③,由①知平面EMN∥平面SBD,又EP 平面EMN,∴EP∥平面SBD,∴③一定成立.
对于④,当且仅当P与M重合时,才有EP⊥平面SAC,∴④不一定成立.
故选D.
3.D　假设AC⊥EF,∵BE⊥AC,EF∩BE=E,EF,BE 平面BEF,∴AC⊥平面BEF.
∵BF 平面BEF,∴AC⊥BF.
又∵BF⊥AD,AC∩AD=A,AC,AD 平面ACD,
∴BF⊥平面ACD,∴BF⊥CD.
由AB⊥平面BCD,得AB⊥CD,
∵AB∩BF=B,∴CD⊥平面ABD,
∴CD⊥BD,
而BC=BD=2,故CD与BD不可能垂直,故AC不可能与EF垂直,故A、C错误.
设CD=x,x∈(0,4),由题意可得△AEF∽△ACD,易知AC=AD=,BF=BE=,AE=AC,∴EF=x,
则BF2+BE2-EF2=>0,
∴∠FBE为锐角,S△BEF=sin∠FBE,
当△BEF的面积最大时,EF最大,又x→4时,EF=,
∴EF没有最大值,∴△BEF的面积没有最大值,故B错误.
故选D.
4.A　如图,连接AC,C1D,BC1,BD.
由正方体的性质知,AC⊥BD,BD⊥AA1,因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理可得C1D⊥A1C,
因为C1D∩BD=D,所以A1C⊥平面BDC1,若BP⊥A1C,则动点P的轨迹为线段C1D.
由正方体的棱长为1,可得点C到线段C1D的距离d=,则PC的取值范围是.
故选A.
5.ABD　取A1D的中点F,连接MF、EF,易知四边形BEFM是平行四边形,∴BM∥EF,
又EF 平面A1DE,BM 平面A1DE,∴BM∥平面A1DE,∴与平面A1DE垂直的直线必与MB垂直,故A正确;
易知∠A1EF为异面直线BM与A1E所成的角,为定值,故B正确;
取DC的中点N,连接AN,A1O,NE,AA1,A1N,易知四边形ADNE为正方形,∴AN⊥DE,A1O⊥DE,A1O∩AN=O,∴DE⊥平面A1AN,∴过点O与DE垂直的直线一定在平面A1AN内,故C错误;
易知O为三棱锥A1-ADE外接球的球心,
∴三棱锥A1-ADE外接球的半径为AD,故D正确.
故选ABD.
6.答案　2
解析　易知DE⊥BD,DE⊥A1D,因为A1D∩BD=D,所以DE⊥平面A1BD.
因为∠A1DB=60°,A1D=BD=2,所以A1B=2.易知BC∥DE,所以BC⊥平面A1BD,
所以BC⊥A1B,从而A1C=.
7.解析　(1)证明:如图,设点C在平面ABB1A1内的射影为E,
则E∈BD,且CE⊥平面ABB1A1.
∵B1D 平面ABB1A1,∴CE⊥B1D.
在△ABD中,AB=AD=1,∠BAD=,则∠ABD=∠ADB=.
在△A1B1D中,A1B1=A1D=1,∠B1A1D=,
则∠A1B1D=∠A1DB1=,∴∠B1DB=,故BD⊥B1D.
∵CE∩BD=E,∴B1D⊥平面CBD.
(2)易知.
由(1)得CE⊥平面ABB1A1,∴CE是三棱锥C-A1AB的高,
又△CBD是正三角形,BD=BC=CD=1,
∴CE=.
又,
∴.
∴.
8.B　连接AD,易知∠ADP是PD与平面ABC所成的角,
设PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是30°和60°,∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,
∴PB=2,AB=,AC=,
∴CD=,
∴AD==1,
∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,
∴PD与平面ABC所成角的大小为45°.
故选B.
9.BC　如图,连接AB1,B1C,BD.
A选项,易知当F与B1(或D1)重合时,AC与AF所成的角最大,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AB1=B1C,此时AC与AF所成的角为∠CAB1=60°,显然AC与AF不可能垂直,故A错误.
B选项,易知AC⊥BD,∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AC.
∵BB1∩BD=B,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥平面BEF,故B正确.
C选项,∵AC⊥平面BDD1B1,∴∠ABD即为直线AB与平面BEF所成的角,易知∠ABD=45°,故C正确.
D选项,∵点A 平面BDD1B1,点B∈平面BDD1B1,∴由正方体的结构特征,易得点B到直线D1B1的距离等于BB1,点A到直线D1B1的距离大于BB1,∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故D错误.
故选BC.
10.答案　;[2,2]
解析　如图,分别取棱BB1,B1C1的中点M,N,连接A1M,A1N,MN,BC1,NE.
∵M,N,E,F分别是其所在棱的中点,
∴MN∥BC1,EF∥BC1,∴MN∥EF.
∵MN 平面AEF,EF 平面 AEF,
∴MN∥平面AEF.
易知AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,∴A1N∥AE.
∵A1N 平面AEF,AE 平面AEF,
∴A1N∥平面AEF.
∵A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面AEF,
∵P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF,
∴点P必在线段MN上,∴点P的轨迹长度为MN=.
∵A1B1⊥平面BCC1B1,
∴∠A1PB1即为直线A1P与平面BCC1B1所成的角,则tan∠A1PB1=.
∵点P的轨迹为MN,∴当PB1⊥MN时,PB1的长最小,为,当P与M或N重合时,PB1的长最大,为,
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最小值为=2,最大值为.
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是[2,2].
11.解析　选择①.(1)证明:连接AC,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5.
因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.
因为CD⊥BC,所以AB∥CD,
又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
(2)由(1)可知,四边形ABCD是直角梯形,
如图,将四棱锥P-ABCD补成一个长方体ABCE-PFGH,连接PE,CF,则PB与平面PFCE所成的角即为PB与平面PCD所成的角.
过B作BO⊥CF于O,由长方体的性质知,EC⊥平面BCGF,所以EC⊥OB,
又CF∩EC=C,所以OB⊥平面PFCE,
连接OP,则∠BPO即为直线PB与平面PCD所成的角.
在Rt△CBF中,可求得OB=,
在Rt△PAB中,可求得PB=2,
所以sin∠BPO=,所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
选择②.(1)证明:连接AC,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5.
因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.
因为CD∥平面PAB,CD 平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以AB∥CD,又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
(2)同选择①.
12.D　连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点,连接OE.
∵E为CC1的中点,∴OE∥AC1.
又OE 平面BDE,AC1 平面BDE,
∴AC1∥平面BDE,∴AC1到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离,设为h.
易得VE-ABD=.
在△BDE中,BE=DE=,BD=2,BD边上的高为=2,∴S△BDE=,
∵VA-BDE=VE-ABD,
∴,解得h=1.故选D.
13.B　易知四边形BED1F是平行四边形.
连接AC,BD,设交点为O,过点E作BD1的垂线,垂足为N.
若四边形BED1F的面积最小,则EN最小,最小值即为AA1到平面BDD1B1的距离,即AO的长.
∵∠DAB=60°,AB=AD=2,
∴△ABD为等边三角形,
易得AO=,又BD1=,
∴()min=,此时E、F为棱AA1、CC1的中点,故①正确.
过点E作EM⊥平面BCC1B1,垂足为点M,则EM即为点E到平面BCC1B1的距离,易得EM=.
若直线EF与平面BCC1B1所成的角最大,则直线EF与直线EM的夹角最小,即∠FEM最小,此时cos∠FEM=最大,
∵EM长度一定,∴此时EF最小,而EF最小时等于AC,由①知AC=2AO=2,
此时cos∠FEM=,
∴∠FEM=,
∴直线EF与平面BCC1B1所成的角最大为,故②错误.
设点D1到平面ABB1A1、平面BCC1B1的距离分别为h1、h2,易得h1=h2=,
,为定值,故③正确.
∵四棱锥B1-BED1F的体积为定值,
∴若点B1到截面α的距离最小,则截面α的面积最大,即四边形BED1F的面积最大,即EN最大,当点E与点A重合,点F与点C1重合时符合条件,此时在△BD1E中,BE=2,BD1=ED1=2,则cos∠ED1B=,则sin∠ED1B=,所以EN=ED1·sin∠ED1B=2,
此时.
设点B1到截面α的距离为d,
则,∴d=,故④正确.
综上,①③④正确.故选B.
14.解析　(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,
∴B1C⊥BO.
∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,
∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面ABO,
∵AB 平面ABO,∴B1C⊥AB.
(2)过点O作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.
∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,
又BC⊥OD,AO∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC.
又OH⊥AD,AD∩BC=D,
∴OH⊥平面ABC.
∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,
易得OD=,
∵AC⊥AB1,∴OA=.
由OH·AD=OD·OA,且AD=,得OH=.
又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.
∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1之间的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.