7.2.2复数的乘、除运算同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

7.2.2　复数的乘、除运算
基础过关练
题组一　复数的乘、除运算
1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于 (　　)
A.4+2i　　　B.2+i　　　C.2+2i　　　D.3+i
2.(2020山东滕州一中高一下检测)已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的虚部是 (　　)
A.1　　　B.-1　　　C.i　　　D.-i
3.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于 (　　)
A.-1　　　B.1　　　C.2　　　D.3
4.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为 (　　)
A.-3+i　　　B.3+i　　　C.-3-i　　　D.3-i
5.(2021河北衡水十四中高一下月考)已知复数z=+2-i,则|z|= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.　　　D.3
6.(2020湖北名师联盟高二上期末联考)已知i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为 (　　)
A.1　　　B.-1　　　C.　　　D.2
7.(2021江苏无锡太湖高级中学高一下期中)若复数z满足z=(1+i)(2-i),则复数z在复平面内对应的点在 (　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
8.(2020天津部分区高一下期末)已知i是虚数单位,z1=.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.
题组二　复数范围内一元二次方程根的问题
9.(2021上海宝山高二下月考)若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为 (　　)
A.3+i　　　B.1-3i　　　C.3-i　　　D.-1+3i
10.(2021上海虹口高二下期中)已知方程x2-px+1=0(p∈R)有两个虚根x1,x2,若|x1-x2|=3,则p的值是 (　　)
A.±,,±
11.已知i为虚数单位,则方程x2-2xi-1=0 (　　)
A.有两个相等的实根
B.有两个相等的虚根
C.有两个不相等的虚根
D.有一个实根,一个虚根
12.在复数范围内解下列方程.
(1)x2+5=0;
(2)3x2+2x+1=0;
(3)x2+4x+6=0.
13.(2021山东烟台高一下期中)已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.
(1)求a、b的值;
(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形 并求该图形的面积.
能力提升练
题组一　复数运算的综合应用
1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z满足=z-2i(i为虚数单位),则z= (　　)
A.i
2.()复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为(　　)
A.1　　　B.-1　　　C.i　　　D.-i
3.(多选)()对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是 (　　)
A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n
B.
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|
D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|
4.(2021鄂东南联盟高考数学联考,)已知a为实数,复数z=(a-2)+ai(i为虚数单位),复数z的共轭复数为,若z2<0,则1-= (　　)
A.1-2i　　　B.1+2i
C.2+i　　　D.2-i
5.(2020天津一中高二上期末,)已知复数z=(i为虚数单位,a为实数)为纯虚数,则|a+2i|=　　　　.
6.()设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于　　　　.
7.(2021四川成都七中高二下期中,)设复数z1=1-i,z2=cos θ+isin θ,其中θ为锐角.
(1)若复数z=在复平面内对应的点在直线y=2x上,求tan θ的值;
(2)求|+z2|的取值范围(其中是z1的共轭复数).
8.(2021江苏南京六校联合体高一下期中,)已知复数z=1+mi(i是虚数单位,m∈R),且·(3+i)为纯虚数(其中是z的共轭复数).
(1)设复数z1=,求|z1|;
(2)设复数z2=,且复数z2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
题组二　复数范围内方程根的问题
9.()已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b= (　　)
A.-1　　　B.1　　　C.-3　　　D.3
10.()在复数范围内分解因式:-x2+x-3=　　　　　　　　　.
11.(2021上海交大附中高二下开学考试,)已知关于x的实系数方程x2+ax+b=0有一个模为1的虚根,则a的取值范围是　　　　.
12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.A　z1=1+i,z2=3-i,
所以z1·z2=(1+i)·(3-i)=3-i2+2i=4+2i.
2.B　∵z==-1-i,
∴复数z的虚部是-1.
3.B　∵=b+i,∴a+2i=-1+bi,
∴a=-1,b=2,∴a+b=1.
4.C　由(3+z)i=1,得3+z==-i,
所以z=-3-i.
5.C　z=+2-i=-1-i+2-i=1-2i,
所以|z|=.故选C.
6.A　∵i为纯虚数,
∴解得a=1.
7.A　z=(1+i)(2-i)=3+i,故复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,1),位于第一象限.故选A.
8.解析　z1==2+i,
设z2=a+2i(a∈R),
则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i,
因为z1z2的虚部为0,
所以a+4=0,即a=-4.
所以z2=-4+2i.
方法技巧
复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法.
9.B　根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.
10.A　∵方程x2-px+1=0有两个虚根,
∴Δ=p2-4<0,解得-2易得两虚根为,,
∴|x1-x2|==1,
解得p=±.故选A.
11.B　当x∈R时,由(x2-1)-2xi=0,得无实数解.
当x为虚数时,不妨设x=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则(a+bi)2-2i(a+bi)-1=0,
即(a2-b2+2b-1)+2a(b-1)i=0,
所以
即x=i.故方程有两个相等的虚根.
12.解析　(1)因为x2+5=0,
所以x2=-5,
又因为(i)2=(-i)2=-5,
所以x=±i,
所以方程x2+5=0的根为x=±i.
(2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0,
所以方程3x2+2x+1=0的根为x=i.
(3)解法一:由x2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=i.
解法二:因为x2+4x+6=0,
所以(x+2)2=-2,
因为(i)2=(-i)2=-2,
所以x+2=i,
即x=-2+i,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
13.解析　(1)因为z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数,
所以
即解得a=3,
此时z0=2i,由根与系数的关系得所以b=3,
所以a=3,b=3.
(2)复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,即1≤|z|≤3,
不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1的外部(包括边界)所有点组成的集合,
不等式|z|≤3的内部(包括边界)所有点组成的集合,
所以所求点Z的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括圆环的边界,
所以该图形的面积S=π[(3)2-12]=17π.
能力提升练
1.B　z-i=zi+2,z(1-i)=2+i,z=i.
2.B　z==-i,z2=(-i)2=-1,
所以ω=-1+1-1+1-1=-1.
3.ABC　由复数乘法的运算律知A正确;设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=a-bi,=c-di,所以=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以=(ac-bd)-(ad+bc)i=,故B正确;由复数的模及共轭复数的概念知C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但由|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此|z1|=|z2|是z1=z2的必要不充分条件,D错误.
4.B　若z2<0,则(a-2)2-a2+2a(a-2)i<0,即4-4a+2a(a-2)i<0,即有解得a=2,所以z=2i,所以1-=1-(-2i)=1+2i,故选B.
5.答案　
解析　因为z=为纯虚数,所以a=,
所以|a+2i|=.
6.答案　±i
解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由z+=4,z·=8,得
∴∴z=2+2i,=2-2i或z=2-2i,=2+2i,
∴=i,即=±i.
7.解析　(1)复数z1=1-i,z2=cos θ+isin θ,
所以z=
=
=i,
因为z在复平面内对应的点在直线y=2x上,
所以=cos θ-sin θ,
即3sin θ=cos θ,
所以tan θ=.
(2)因为+z2=(1+i)+(cos θ+isin θ)
=(1+cos θ)+(1+sin θ)i,
所以|+z2|2=(1+cos θ)2+(1+sin θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+2.
因为θ为锐角,所以θ+,所以sin,
所以3+2∈(5,3+2],
所以|+z2|的取值范围是(,+1].
8.解析　因为z=1+mi,所以=1-mi,
所以·(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i,
又因为·(3+i)为纯虚数,所以
解得m=-3,所以z=1-3i.
(1)z1=i,
所以|z1|=.
(2)因为z=1-3i,
所以z2=,
又因为复数z2在复平面内对应的点在第一象限,
所以.
故实数a的取值范围为.
9.A　当a=0时,解得b=-1+i R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.
因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i,
根据根与系数的关系,
可得
解得
所以a+b=-1.
10.答案　-(x-1+i)(x-1-i)
解析　由-(x2-2x+6)=0,
得x2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,
则x=i,所以-x2+x-3
=-(x-1+i)(x-1-i).
11.答案　(-2,2)
解析　设方程的一个根为x=m+ni(m,n∈R),则方程的另一个根为x=m-ni,
∵方程有一个模为1的虚根,
∴m2+n2=1,由根与系数的关系得b=m2+n2=1,又Δ=a2-4b=a2-4<0,∴-2∴a的取值范围为(-2,2).
12.解析　(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,
所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故则a=b=3.
(2)由(1)得,b=3,
所以|z-b|=1即为|z-3|=1,
设z=m+ni(m,n∈R),
则z在复平面内对应的点Z的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)与点(3,0)之间的距离为1,则点Z(m,n)在以(3,0)为圆心,1为半径的圆上,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|有最小值,最小值为2.
深度剖析
一元二次方程az2+bz+c=0(a≠0)的系数为虚数时,可以设方程的根为z=x+yi(x,y∈R),将z=x+yi代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y的方程(组),从而求出x,y的值,进而得出方程的根.