6.3.5平面向量数量积的坐标表示同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含解析）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
基础过关练
题组一　向量数量积的坐标运算
1.(2021湖北鄂州高一下阶段性检测)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则等于 (　　)
A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x= (　　)
A.-1　　　B.-　　　D.1
3.已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当的值最小时,x的值是 (　　)
A.-3　　　B.3　　　C.-1　　　D.1
4.(2021安徽重点高中联盟高一下联考)如图,将两个全等的三角板拼成一个平面四边形ABCD,若AB=1,AC=2,AD⊥CD,点P为AB边的中点,连接CP,DP,则= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
5.(2021山东烟台高一下月考)△ABO的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足≤0,≥0,则的最小值为　　　　.
题组二　向量模的坐标表示
6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量方向相同的单位向量为 (　　)
A.
C.
7.(2021上海静安高一下期中)已知向量a=(1,2),向量b=(-2,m),且a∥b,则|2a+3b|= (　　)
A.2
8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　.
9.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求||的最小值.
题组三　向量夹角的坐标表示
10.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b的夹角为(　　)
A.45°　　　B.60°　　　C.90°　　　D.135°
11.已知向量a=,|b|=2,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为 (　　)
A.
12.(2021河北衡水第十四中学高一下一调)已知向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是(　　)
A.t<
C.t<且t≠-6　　　D.t<-6
题组四　向量垂直的坐标表示
13.已知i=(1,0),j=(0,1),则下列与2i+3j垂直的向量是(　　)
A.3i+2j　　　B.-2i+3j　　　C.-3i+2j　　　D.2i-3j
14.(2021广东实验中学高一下期中)已知向量a=(3,4),b=(1-λ,2+λ),且a⊥b,则λ= (　　)
A.-11　　　B.-2　　　C.
15.已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m=　　　　.
16.(2021吉林长春高一下阶段性检测)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
能力提升练
题组一　向量的模、夹角与向量垂直的坐标表示
1.(2021河南天一大联考高一下期末,)已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则||= (　　)
A.
2.(2020河北衡水武邑中学高一下期中,)已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　　　B.
C.∪(1,)　　　D.(1,)
3.()如图,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆O,P为半圆上不与A,B重合的一动点,下面关于||的说法正确的是 (　　)
A.无最大值,但有最小值
B.既有最大值,又有最小值
C.有最大值,但无最小值
D.既无最大值,又无最小值
4.()若=(cos θ,-1),=(2cos θ,2sin θ),其中θ∈[0,π],则||的最大值为　　　　.
5.(2021天津河北区高一下阶段性检测,)已知向量a=(1,),b=(-,1),若存在正数k和t,使得向量c=a+(t2+1)b与d=-ka+b互相垂直,则k的最小值是　　　　.
题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用
6.(2021江苏苏州吴中高一下期中,)骑自行车是一种环保又健康的运动,如图是某自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为 (　　)
A.48　　　B.36　　　C.72　　　D.60
7.()已知向量a=(3,2),b=,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|= (　　)
A.
8.(2020江西上饶高一下期末,)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P满足||=1,记I1=,I2=,I3=,则 (　　)
A.存在点P,使得I1=I2
B.存在点P,使得I1=I3
C.对任意的点P,有I2>I1
D.对任意的点P,有I3>I1
9.(2021江西宜春上高二中高一下期中,)如图,在等腰梯形ABCD中,下底BC长为3,底角C为45°,高为a,E为上底AD的中点,F为折线段C-D-A上的动点,设的最小值为g(a),若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不等的实根,则实数k的取值范围为　　　　.
10.()已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且,点Q是边AB上一点,且=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由已知得=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),∴=1×(-3)+1×3=0.
2.D　∵a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1,
∴x=1.
3.B　由已知可得=(x-2,-2),
=(x-4,-1),
所以=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当的值最小时,x=3.故选B.
4.A　连接DB,以的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,则C,D,P,所以,,所以=1.故选A.
5.答案　3
解析　∵=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,
∴x≤1,∴-x≥-1,
∵=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2.
∴=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3.
∴的最小值为3.
6.A　由题意得=(-3,4).
设与向量方向相同的单位向量为a,则a=λ=λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,
所以|a|==1,解得λ=(舍去),
所以与向量方向相同的单位向量为a=.故选A.
7.C　因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,
所以1×m-(-2)×2=0,解得m=-4.
所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),
所以|2a+3b|=.
8.答案　2
解析　因为a=(x,2),b=(-1,1),
所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).
因为|a-b|=|a+b|,所以,解得x=2.
9.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,
设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),
则=(5,3h-4y),
所以|=5,当且仅当3h=4y,即DP=DC时,等号成立,故||的最小值为5.
10.A　将向量b平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,
则a=(3,1),b=(1,2).
设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.
11.A　由已知可得a2=|a|2=1,a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3.
设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ=,所以θ=.
所以向量a与b的夹角为.故选A.
12.C　由题意得,a·b=-2+3t.
∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b<0,且a,b不平行,
∴-2+3t<0且6+t≠0,
解得t<且t≠-6.故选C.
易错警示
利用cos θ=来判断角θ时,要注意cos θ<0有两种情况:一是θ是钝角,二是θ=π;cos θ>0也有两种情况:一是θ为锐角,二是θ=0.
13.C　∵i=(1,0),j=(0,1),
∴2i+3j=(2,3).
对于选项A,3i+2j=(3,2),∵(2i+3j)·(3i+2j)=6+6=12≠0,∴A不符合题意;
对于选项B,-2i+3j=(-2,3),
∵(2i+3j)·(-2i+3j)=-4+9=5≠0,∴B不符合题意;
对于选项C,-3i+2j=(-3,2),∵(2i+3j)·(-3i+2j)=-6+6=0,∴2i+3j与-3i+2j垂直,∴C符合题意;
对于选项D,2i-3j=(2,-3),∵(2i+3j)·(2i-3j)=4-9=-5≠0,∴D不符合题意.
故选C.
14.A　∵向量a=(3,4),b=(1-λ,2+λ),且a⊥b,∴a·b=3(1-λ)+4(2+λ)=0,解得λ=-11.故选A.
15.答案　±4
解析　∵a=(2,m),b=(4,-2),
∴a+b=(6,m-2),a-b=(-2,m+2).
又∵(a+b)⊥(a-b),
∴(a+b)·(a-b)=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m2=16,
∴m=±4.
16.解析　(1)证明:由题意得|a-b|2=2,
即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
所以
由①得,cos α=cos(π-β),
由0<β<π,得0<π-β<π,
又0<α<π,故α=π-β,
代入②得sin α=sin β=,
又α>β,所以α=,β=.
能力提升练
1.D　如图,建立以A为原点的平面直角坐标系,连接EF交AC于点G,
由题意得,AE=ABsin 60°=2,
所以AG=AEcos 30°=3,
EG=AEsin 30°=,
所以E(3,-),F(3,),
所以=(3,-),=(3,),
所以=(9,),
所以|.
2.C　设向量a,b的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=,∠B2Ox=,故B1,B2(1,),又a与b的夹角不为零,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).
3.A　设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,
则C(1,2),D(-1,2),||=1,
设P(cos θ,sin θ),其中0<θ<π,
则=(-2cos θ,-2sin θ)+(1-cos θ,2-sin θ)+(-1-cos θ,2-sin θ) =(-4cos θ,4-4sin θ),
∴||
=
=,
∵θ∈(0,π),∴sin θ∈(0,1],
∴||∈[0,4).故选A.
导师点睛
本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使思路变得清晰.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法解题
4.答案　3
解析　由题意可得,=(cos θ,2sin θ+1), 所以=cos 2θ+(2sin θ+1)2=3sin 2θ+4sin θ+2=3,因为θ∈[0,π],所以sin θ∈[0,1],所以当sin θ=1时,||2取得最大值 9,所以||的最大值为3.
5.答案　2
解析　由题意可得c=a+(t2+1)b=(1-,+t2+1),d=-ka+b=.
∵c⊥d,∴c·d=(1- )·+(+t2+1)
=-3=0,
∴k=t+,∵t>0,∴k≥2=2,当且仅当t=1时,取等号,故k的最小值为2.
6.D　以点D为坐标原点,方向为x轴负方向建立平面直角坐标系,则A(-8,0),C(-2,2),
由点P在以D为圆心,为半径的圆上,可设P(cos θ,sin θ),
∴=(6,2),=(cos θ+8, sin θ),
∴=6(cos θ+8)+6sin θ
=6cos θ+6sin θ+48
=12 sin+48,
显然当sin=1时,取得最大值,最大值为60.故选D.
7.A　f(x)=(a+xb)·(xa-b)=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0,且|a|2≠|b|2,所以3×(-1)+2×=0且32+22≠(-1)2+,解得m=-2,所以b=,|b|=.
8.C　如图,以C为原点,CD、CB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴=(3,0),=(3,2),=(0,2).
∵||=1,且P在矩形内,∴P在第三象限,设P(cos α,sin α),∴=(cos α+3,sin α+2),I1==3cos α+9,I2==3cos α+2sin α+13,I3==2sin α+4,
∴I2-I1=2sin α+4>0,即I2>I1,故A错误,C正确;I3-I1=2sin α-3cos α-5=sin(α-θ)-5<0,即I39.答案　
解析　以B为坐标原点,方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(a,a),E,
由F为折线段C-D-A上的动点,可知当F落在A点时,取最小值g(a),
即g(a)=·(a,a)=a2+,
若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实根,
则a2+上有两个不相等的实根,
故.
10.解析　(1)设P(14,y),则=(14,y),
=(-8,-3-y),由,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,
∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
由(1)得=(12,-16),
∵=0,
∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①
∵点Q在边AB上,∴,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②
联立①②,解得a=4,b=3,∴Q点坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ(含端点)上的一个动点,∴设=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),
∴=(8-8t,6-6t),
∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1).当t=0或t=1时,上式取得最大值0;当t=时,上式取得最小值-.
故·()的取值范围为.