6.3利用导数解决实际问题同步课时作业-2021-2022学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修三册（word含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3利用导数解决实际问题同步课时作业-2021-2022学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修三册（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 407.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-22 08:49:44 | ||
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文档简介
6.3 利用导数解决实际问题-2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修三同步课时作业
1.如图，在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设（），为了节省建设成本，要使得的值最小，此时( )
A.4 km B.6 km C.8 km D.10 km
2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，根据上述结论，函数在区间上的“中值点”的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
4.如图，将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得柱体积最大时，AB的长为( )
A. B. C. D.1
5.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长的总和为30 cm），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( )
A.24 B.15 C.12 D.6
6.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
7.某厂生产x万件某产品的总成本为C（x）万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为( )
A.23万件 B.25万件 C.50万件 D.75万件
8.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
9.定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
10.用边长为18cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
11.已知正四棱锥内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________________.
12.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件.
13.由曲线，直线所围成的封闭的图形面积为_________.
14.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数).已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，，所以，在中，，在中，，则.设，，则，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，此时，故选A.
2.答案：B
解析：由题意，函数，可得，，，
由，可得，即，
解得，所以在区间上的“中值点”的个数为2.
3.答案：C
解析：由题意，函数，所以，当时，；当时，，所以当时，y有最大值，此时最大年利润为200万元.
4.答案：B
解析：设，则，所以，，则，由，得，解得；由，得，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当，即，时，取得最大值.
5.答案：B
解析：设该长方体的宽是x m，则由题意知，其长是，高是，其中，则该长方体的体积，，由，得，且当时，；当时，，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值，所以该长方体体积的最大值是15.
6.答案：C
解析：令导数，解得；
令导数，解得，
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以在处取得极大值，也是最大值，故选C.
7.答案：B
解析：设产品单价为a元，，则，，，即，总利润，，令，得，则当时，；当时，.当产量定为25万件时，总利润最大.
8.答案：B
解析：对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除A；对于，，，当时，，故不为凸函数；对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除C；对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除D.故选B.
9.答案：B
解析：，，.解方程，即，得，即；解方程，即，在同一坐标系中画出函数，的图象（图略），可得，即；解方程，即，得，即，所以.
10.答案：C
解析：设截去的小正方形的边长为x cm，
则铁盒的底面边长为，高为x cm，
所以铁盒的容积，
所以，
所以V在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值.
11.答案：
解析：由球的几何性质可设四棱锥的高为h，从而，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，即体积最大.
12.答案：9
解析：由，得.令，得（舍去），，所以当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，故当时，函数有最大值为（万元），即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
13.答案：
解析： 依题意,由解得，
∴封闭的图形面积为.
故答案为：.
14.答案：(1)().
(2)当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大为13万元；
当时，促销费用投入a万元，厂家的利润为.
解析：(1)由题意知，，
将代入化简得：().
(2)，
(ⅰ)当时，
①当时，，所以函数在上单调递增，
②当时，，所以函数在上单调递减，
从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
(ⅱ)当时，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.
综上：当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；
当时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元.
1.如图，在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设（），为了节省建设成本，要使得的值最小，此时( )
A.4 km B.6 km C.8 km D.10 km
2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，根据上述结论，函数在区间上的“中值点”的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
4.如图，将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得柱体积最大时，AB的长为( )
A. B. C. D.1
5.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长的总和为30 cm），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( )
A.24 B.15 C.12 D.6
6.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
7.某厂生产x万件某产品的总成本为C（x）万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为( )
A.23万件 B.25万件 C.50万件 D.75万件
8.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
9.定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
10.用边长为18cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
11.已知正四棱锥内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________________.
12.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件.
13.由曲线，直线所围成的封闭的图形面积为_________.
14.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数).已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，，所以，在中，，在中，，则.设，，则，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，此时，故选A.
2.答案：B
解析：由题意，函数，可得，，，
由，可得，即，
解得，所以在区间上的“中值点”的个数为2.
3.答案：C
解析：由题意，函数，所以，当时，；当时，，所以当时，y有最大值，此时最大年利润为200万元.
4.答案：B
解析：设，则，所以，，则，由，得，解得；由，得，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当，即，时，取得最大值.
5.答案：B
解析：设该长方体的宽是x m，则由题意知，其长是，高是，其中，则该长方体的体积，，由，得，且当时，；当时，，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值，所以该长方体体积的最大值是15.
6.答案：C
解析：令导数，解得；
令导数，解得，
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以在处取得极大值，也是最大值，故选C.
7.答案：B
解析：设产品单价为a元，，则，，，即，总利润，，令，得，则当时，；当时，.当产量定为25万件时，总利润最大.
8.答案：B
解析：对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除A；对于，，，当时，，故不为凸函数；对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除C；对于，，，当时，恒成立，故为凸函数，排除D.故选B.
9.答案：B
解析：，，.解方程，即，得，即；解方程，即，在同一坐标系中画出函数，的图象（图略），可得，即；解方程，即，得，即，所以.
10.答案：C
解析：设截去的小正方形的边长为x cm，
则铁盒的底面边长为，高为x cm，
所以铁盒的容积，
所以，
所以V在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值.
11.答案：
解析：由球的几何性质可设四棱锥的高为h，从而，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，即体积最大.
12.答案：9
解析：由，得.令，得（舍去），，所以当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，故当时，函数有最大值为（万元），即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
13.答案：
解析： 依题意,由解得，
∴封闭的图形面积为.
故答案为：.
14.答案：(1)().
(2)当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大为13万元；
当时，促销费用投入a万元，厂家的利润为.
解析：(1)由题意知，，
将代入化简得：().
(2)，
(ⅰ)当时，
①当时，，所以函数在上单调递增，
②当时，，所以函数在上单调递减，
从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
(ⅱ)当时，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.
综上：当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；
当时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元.