6.1平面向量的概念分类练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含解析）

6.1平面向量的概念
向量的概念判断
1．（2021·山西临汾·高一阶段练习）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度
向量的几何表示
1．（2021·全国·高一课时练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
平行向量与相等向量
1．（2021·云南省楚雄天人中学高一阶段练习）下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2021·福建省南平市高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则不是共线向量
3．（2021·全国·高一单元测试）在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与平行的向量；
（3）写出的负向量.
4．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个.
巩固提升
一、单选题
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
3．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
4．下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
5．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=|| B．与共线
C．与共线 D．与共线
6．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9 B．11
C．18 D．24
二、多选题
8．设点是正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．与共线 D．
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
三、填空题
10．如图，已知，则__________.
11．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
四、解答题
12．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
13．如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
14．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
参考答案
向量的概念判断
1．C
解：向量是既有大小，又有方向的量，
海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
加速度是向量，
故选：．
向量的几何表示
1．C
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
2．B
对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
平行向量与相等向量
1．C
（1）由相等向量的定义知（1）正确；
（2）平行且模相等的两个向量，可能方向相反，不相等，（2）错；
（3）不相等的两个向量，模可能相等，例如所有单位向量模都是1．（3）错；
（4）根据相等向量的定义知（4）错．
因此只有1个命题正确．
故选：C．
2．C
A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.
故选：C
3．（1），，，，；
（2），，，，，，，，；
（3），，
（1）如图①标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，；
（2）与平行的向量是指与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图②所示；
（3）的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有，，，如图③所示.
4．39
图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.
故答案为：39个.
巩固提升
1．C
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
2．D
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
3．C
对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；
故选：C.
4．D
A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.
故选：D
5．C
因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；
故选：C.
6．D
①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②∥，则与为共线向量，故不正确；
③，向量的模长是非负数，故正确；
④｜｜=1，故正确；
⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
故选：D.
7．D
如图，
由已知可得，
，，，，
有12对相等的向量，
改变其方向，又有12对相等的向量，共24对，
故选：D.
8．ABC
解：因为点是正方形的中心，所以，所以A正确，与的模相同，但长度不相等，所以D错误，
，与共线，所以BC正确，
故选：ABC
9．AC
解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B不正确；
对于C：由且，则，故C正确；
对于D：与共线，与共线，则与共线，不正确，例如取时，与不一定共线.
故选：AC.
10．1
且
根据三角形全等判断可知△△
即
故答案为：1
11． 、、、、、、、; 、、
（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
12．（1），；（2），，，，；（3），，，，.
（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
13．证明见解析
证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，
所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.
14．（1）见解析；（2）
(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。