5.4 数列的应用 同步课时作业-2021-2022学年高二下学期数学 人教B版（2019）选择性必修三册（word含解析）
文档属性
| 名称 | 5.4 数列的应用 同步课时作业-2021-2022学年高二下学期数学 人教B版（2019）选择性必修三册（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 246.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-22 09:16:17 | ||
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文档简介
5.4 数列的应用-2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修三同步课时作业
1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
2.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）.干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年（2021年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是( )
A. 辛酉年 B. 辛戊年 C. 壬酉年 D. 壬戊年
3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第( )天，蒲草和菀草高度相同.( )
（已知，，结果精确到0.1）
A.3.5 B.3.6 C.3.7 D.3.8
4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为( )
A.2.5尺 B.3.5尺 C.4.5尺 D.1.5尺
6.《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为( )
A.1055里 B.1146里 C.1510里 D.1692里
7.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同，已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为( )
A. B. C. D.
8.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则n的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.已知数列满足，，（），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
11.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最长一层长有个，宽有个，共有个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为___________．
12.刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价元的手机，约定从下月5日开始，每月日按等额本息（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款元，1年还清；其中月利率为，则小明每月还款数___________元（精确到个位）.（参考数据：；；）
13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重二斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在细的一端截下一尺，重2斤，在粗的一端截下一尺，重4斤，问：依次每一尺各重多少斤？”假设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的段（这段的重量可看作等差数列），其中最细的两段共重斤，最粗的两段共重斤，则___________.
14.已知，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.
2.答案：A
解析：由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且，，因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年.故选：A.
3.答案：B
解析：由题意可得：，化为：，解得，(舍去)..估计3.6日蒲、莞长度相等.故选：B.
4.答案：A
解析：设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为d，依题意可得，，，，，解得，.故选：A.
5.答案：C
解析：设影长依次成等差数列 ，其公差为.
则 ，,
解得 ，, 今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为 4. 5尺 .
故选 : C.
6.答案：B
解析：良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马日行里数（里），而驽马日行里数（里），所以良马较驽马日行里数多（里）.故选：B.
7.答案：B
解析：由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列，记为，则.记的前n项和为，则.设的公差为d，所以，解得，故选B.
8.答案：C
解析：大老鼠每天打的长度构成等比数列，设为，则，其公比为2，所以其前n项和.小老鼠每天打洞的长度也构成等比数列，设为，则，其公比为，所以其前n项和.由题意知，即，化简得，所以或，所以或（舍）.故选C.
9.答案：A
解析：因为，所以，即，
因为，，
所以，
所以，
所以，也满足，所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的知识可得其最小值为.
故选：A.
10.答案：A
解析：设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为．则，则，从而相距尺．
11.答案：110
解析：由题可知，最底层长为个木桶，宽为个木桶，
∴最底层共有个木桶，
故答案为：110．
12.答案：514
解析：由题知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为元，第2次还款a元后，还欠本金及利息为：元，第3次还款a元后，还欠本金及利息为：元，以此类推则第12次还款a元后，还欠本金及利息为：元，此时已全部还清，则，即，解得元.故答案为：514.
13.答案：15
解析：由条件可知：金杖的总重量,设截成段后，每段重量分别为,且， 则，，
又，，又，
14.答案：，
.
，.
又，.
1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
2.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）.干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年（2021年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是( )
A. 辛酉年 B. 辛戊年 C. 壬酉年 D. 壬戊年
3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第( )天，蒲草和菀草高度相同.( )
（已知，，结果精确到0.1）
A.3.5 B.3.6 C.3.7 D.3.8
4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为( )
A.2.5尺 B.3.5尺 C.4.5尺 D.1.5尺
6.《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为( )
A.1055里 B.1146里 C.1510里 D.1692里
7.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同，已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为( )
A. B. C. D.
8.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则n的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.已知数列满足，，（），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
11.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最长一层长有个，宽有个，共有个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为___________．
12.刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价元的手机，约定从下月5日开始，每月日按等额本息（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款元，1年还清；其中月利率为，则小明每月还款数___________元（精确到个位）.（参考数据：；；）
13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重二斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在细的一端截下一尺，重2斤，在粗的一端截下一尺，重4斤，问：依次每一尺各重多少斤？”假设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的段（这段的重量可看作等差数列），其中最细的两段共重斤，最粗的两段共重斤，则___________.
14.已知，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.
2.答案：A
解析：由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且，，因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年.故选：A.
3.答案：B
解析：由题意可得：，化为：，解得，(舍去)..估计3.6日蒲、莞长度相等.故选：B.
4.答案：A
解析：设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为d，依题意可得，，，，，解得，.故选：A.
5.答案：C
解析：设影长依次成等差数列 ，其公差为.
则 ，,
解得 ，, 今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为 4. 5尺 .
故选 : C.
6.答案：B
解析：良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马日行里数（里），而驽马日行里数（里），所以良马较驽马日行里数多（里）.故选：B.
7.答案：B
解析：由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列，记为，则.记的前n项和为，则.设的公差为d，所以，解得，故选B.
8.答案：C
解析：大老鼠每天打的长度构成等比数列，设为，则，其公比为2，所以其前n项和.小老鼠每天打洞的长度也构成等比数列，设为，则，其公比为，所以其前n项和.由题意知，即，化简得，所以或，所以或（舍）.故选C.
9.答案：A
解析：因为，所以，即，
因为，，
所以，
所以，
所以，也满足，所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的知识可得其最小值为.
故选：A.
10.答案：A
解析：设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为．则，则，从而相距尺．
11.答案：110
解析：由题可知，最底层长为个木桶，宽为个木桶，
∴最底层共有个木桶，
故答案为：110．
12.答案：514
解析：由题知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为元，第2次还款a元后，还欠本金及利息为：元，第3次还款a元后，还欠本金及利息为：元，以此类推则第12次还款a元后，还欠本金及利息为：元，此时已全部还清，则，即，解得元.故答案为：514.
13.答案：15
解析：由条件可知：金杖的总重量,设截成段后，每段重量分别为,且， 则，，
又，，又，
14.答案：，
.
，.
又，.