5.1.2导数的概念及其意义分类练习-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word含解析）
文档属性
| 名称 | 5.1.2导数的概念及其意义分类练习-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 502.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-22 15:05:59 | ||
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文档简介
人教版（2019）5.1导数的概念及其意义
平均变化率
1．（2021·江苏·高二课时练习）一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（ ）
A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3
2．（2021·辽宁·大连八中期中）函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
瞬时变化率（导数）
1.（2021·全国·高二同步练习）已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（ ）．
A．物体在0~1s这一段时间内的速度
B．物体在这一段时间内的速度
C．物体在1s这一时刻的速度
D．物体从1s到这一段时间内的平均速度
2．（2020·全国·高二练习）某物体的运动路程s(单位：)与时间t(单位：)的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物体在t0时的瞬时速度为27，则t0=________.
3．（2021·全国·高二课时练习）若函数在处可导，则的结果（ ）．
A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关
4．（原创）已知函数，求在处的导数.
5．（2021·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）已知，则___________.
导数的几何意义
1．（2021·全国·高二课时练习）已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
2．（2021·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．12 C．8 D．4
3．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校期中）（多选）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．
（1）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；
（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；
（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；
（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．
5．（原创）抛物线y＝x2＋4在点(-1，5)处的切线的斜率为________.
6．（2021·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
巩固提升
一、单选题
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
2．函数f(x)的图象如图所示，则（ ）
A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3)
C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2)
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．函数在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．165°
6．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
二、多选题
7．已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（ ）
A．在区间上的平均变化率最小
B．在区间上的平均变化率大于0
C．在区间上的平均变化率比上的大
D．在区间上的平均变化率最大
8．下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
9．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为（单位：），，，，时刻的瞬时融化速度分别为，，，（单位：），那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.
11．给出四个函数：①；②；③；④.其中在上的平均变化率最大的是______（填序号）.
12．若函数在处的导数是8，则________．
13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
四、解答题
14．已知某产品的总成本函数为，总成本函数在处导数称为在处的边际成本，用表示.求边际成本并说明它的实际意义.
15．在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．
(1)在点P处曲线E的切线平行于直线；
(2)在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．
16．若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，求的最小值．
参考答案
平均变化率
1．B
，
故选：B
2．A
，，故.
故选：A.
瞬时变化率（导数）
1．C
由平均速度的概念，表示的是这一段时间内的平均速度，其极限值即，表示这一时刻的瞬时速度．
故选：C
2．3
解：由，得，
由题意得，解得.
因为，故.
故答案为：3
3．B
解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
4．6.
当自变量在处的改变量为时，平均变化率
.
化简，当无限接近于0时，无限接近于6，
因此
5．-8
解：令，
因为.
所以，
故答案为：.
导数的几何意义
1．B
由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，
由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
故选：B
2．A
解：根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，
切点的横坐标为5，
则有（5），（5），
则（5）（5）；
故选：A．
3．AB
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选：AB
4．（2）（3）
f′（1）＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；
又f（1）＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．
故答案为：（2）（3）
5．-2
根据导数的定义可得：
故答案为： 2
6．3x－y－4＝0.
因为＝3＋Δx
所以切线的斜率k＝＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
巩固提升
1．A
故选：A．
2．C
由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
3．D
由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．B
因为在直线上，
所以，，
所以，
故选：B.
5．B
，
，
所以在点处切线的斜率为，
故切线的倾斜角为45°.
故选：B
6．C
上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
＝
＝ ＝<1，即k<1.
故选：C.
7．BC
函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间，，上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.
故选：BC
8．AC
，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；
当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.
故选：AC.
9．AD
平均融化速度为，反映的是的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知，处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，，处瞬时速度及都小于0.
故选：AD
10．2
解析 f′(1)＝
＝＝2.
答案 2
11．③
①中函数在上的平均变化率为；
②中函数在上的平均变化率为；
③中函数在上的平均变化率为；
④中函数在上的平均变化率为.
观察可知，在上的平均变化率最大的是③.
故答案为：③
12．1
根据导数的定义知，
，
解得．
故答案为：1
13．①③④
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
14．，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
设时，产量的改变量为，
，
则，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
15．(1)
(2)
(1)
．
设为所求的点．
因为切线与直线平行，所以，
解得，所以，
即．
(2)
因为切线的倾斜角是135°，
所以其斜率为，即，解得．
所以，即．
16．
设，的导数为
由曲线在点A处的切线方程为，可得，，
解得，或，，
由点A在直线（其中，）上，
可得（，舍去），
则，
当且仅当即时，等号成立．
所以的最小值为．
平均变化率
1．（2021·江苏·高二课时练习）一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（ ）
A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3
2．（2021·辽宁·大连八中期中）函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
瞬时变化率（导数）
1.（2021·全国·高二同步练习）已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（ ）．
A．物体在0~1s这一段时间内的速度
B．物体在这一段时间内的速度
C．物体在1s这一时刻的速度
D．物体从1s到这一段时间内的平均速度
2．（2020·全国·高二练习）某物体的运动路程s(单位：)与时间t(单位：)的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物体在t0时的瞬时速度为27，则t0=________.
3．（2021·全国·高二课时练习）若函数在处可导，则的结果（ ）．
A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关
4．（原创）已知函数，求在处的导数.
5．（2021·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）已知，则___________.
导数的几何意义
1．（2021·全国·高二课时练习）已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
2．（2021·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．12 C．8 D．4
3．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校期中）（多选）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．
（1）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；
（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；
（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；
（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．
5．（原创）抛物线y＝x2＋4在点(-1，5)处的切线的斜率为________.
6．（2021·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
巩固提升
一、单选题
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
2．函数f(x)的图象如图所示，则（ ）
A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3)
C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2)
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．函数在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．165°
6．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
二、多选题
7．已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（ ）
A．在区间上的平均变化率最小
B．在区间上的平均变化率大于0
C．在区间上的平均变化率比上的大
D．在区间上的平均变化率最大
8．下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
9．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为（单位：），，，，时刻的瞬时融化速度分别为，，，（单位：），那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.
11．给出四个函数：①；②；③；④.其中在上的平均变化率最大的是______（填序号）.
12．若函数在处的导数是8，则________．
13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
四、解答题
14．已知某产品的总成本函数为，总成本函数在处导数称为在处的边际成本，用表示.求边际成本并说明它的实际意义.
15．在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．
(1)在点P处曲线E的切线平行于直线；
(2)在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．
16．若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，求的最小值．
参考答案
平均变化率
1．B
，
故选：B
2．A
，，故.
故选：A.
瞬时变化率（导数）
1．C
由平均速度的概念，表示的是这一段时间内的平均速度，其极限值即，表示这一时刻的瞬时速度．
故选：C
2．3
解：由，得，
由题意得，解得.
因为，故.
故答案为：3
3．B
解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
4．6.
当自变量在处的改变量为时，平均变化率
.
化简，当无限接近于0时，无限接近于6，
因此
5．-8
解：令，
因为.
所以，
故答案为：.
导数的几何意义
1．B
由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，
由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
故选：B
2．A
解：根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，
切点的横坐标为5，
则有（5），（5），
则（5）（5）；
故选：A．
3．AB
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选：AB
4．（2）（3）
f′（1）＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；
又f（1）＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．
故答案为：（2）（3）
5．-2
根据导数的定义可得：
故答案为： 2
6．3x－y－4＝0.
因为＝3＋Δx
所以切线的斜率k＝＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
巩固提升
1．A
故选：A．
2．C
由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
3．D
由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．B
因为在直线上，
所以，，
所以，
故选：B.
5．B
，
，
所以在点处切线的斜率为，
故切线的倾斜角为45°.
故选：B
6．C
上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
＝
＝ ＝<1，即k<1.
故选：C.
7．BC
函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间，，上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.
故选：BC
8．AC
，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；
当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.
故选：AC.
9．AD
平均融化速度为，反映的是的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知，处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，，处瞬时速度及都小于0.
故选：AD
10．2
解析 f′(1)＝
＝＝2.
答案 2
11．③
①中函数在上的平均变化率为；
②中函数在上的平均变化率为；
③中函数在上的平均变化率为；
④中函数在上的平均变化率为.
观察可知，在上的平均变化率最大的是③.
故答案为：③
12．1
根据导数的定义知，
，
解得．
故答案为：1
13．①③④
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
14．，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
设时，产量的改变量为，
，
则，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
15．(1)
(2)
(1)
．
设为所求的点．
因为切线与直线平行，所以，
解得，所以，
即．
(2)
因为切线的倾斜角是135°，
所以其斜率为，即，解得．
所以，即．
16．
设，的导数为
由曲线在点A处的切线方程为，可得，，
解得，或，，
由点A在直线（其中，）上，
可得（，舍去），
则，
当且仅当即时，等号成立．
所以的最小值为．