2021—2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形同步测试（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形同步测试（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 501.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-19 23:21:21 | ||
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文档简介
1.4 解直角三角形----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，其坐标为（8，y），且OA与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则y的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
2．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．608 B．608 C．64 D．68
6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）
A． B． C． D．
7．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算 时，构造出如图所示的图形：在Rt ACD中， ， ，延长 到 ， ，连接 ，得 ．根据此图可求得 的结果（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
10．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是_____m．
11．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 _______．
三、解答题
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
13．在中，，a，b，c分别为，，的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
14．在Rt中，，，，求，的度数．
15．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．
（1）求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
（2）为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．
四、综合题
16．如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
（1）求∠DCB的度数；
（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为3 ，求点F的坐标.
17．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，sinB＝，求△ABC的面积．
18．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6．若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
20．如图1，在平面内有射线Ox和一点A，连接OA，若OA＝1.5，∠AOx＝30°，则可用（1.5，30°）表示点A的位置，如图2，在平面内有一点B（2，60°），以O为坐标原点，以Ox为x轴建立平面直角坐标系，求点B在平面直角坐标系xOy内的坐标．
答案
1．B
2．A
3．C
4．C
5．B
6．A
7．C
8．
9．
10．（1，2）
11．
12．解：∵∠C=90°,∠ADC="45°，AC=5,
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ,
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5,
∴ BC=12,
∴ BD=7,
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°,
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
13．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）∵∠A＝10°，
∴∠B＝90° ∠A＝80°，
∵sin∠A＝，
∴c＝≈46.07，
由勾股定理可求出：b≈45.37；
（2）∵∠B＝33°，
∴∠A＝90° ∠B＝57°，
∵sin∠B＝，
∴c＝≈9.18，
∴由勾股定理可求出：a≈7.70；
（3）∵a＝5，c＝13，
∴由勾股定理可求出：b＝12，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B＝90° ＝；
（4）∵c＝，b＝，
∴由勾股定理可知：a＝8，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B≈.
14．，
【解析】Rt △ABC 中， ∠C=90° ，
∵
∴
∴∠B=90゜ －∠A=60゜
15．（1）；
（2）
【解析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，如图，
则DF=AE=4，EF=AD=2
∵，且AE=4
∴BE=4
∵
∴
∴
∴
∴
（2）
如图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则四边形GQEA是矩形，
∴GQ=AE=4，QE=AG=1
∵背水坡度为
∴
∴
∴ ，GD=GA+AD=1+2=3
∴
16．（1）解：在 中，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ ， ，且E是AD的中点，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
根据轴对称的性质知： ，故 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②过点E作 直线CD于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当点H在点G的右侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴点F的坐标为 ；
当点H在点G的左侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点F的坐标为 ；
综上所述：点F的坐标有两个，分别是 ， .
17．解：如图，作AD⊥BC的延长线于D；
由题意得：AB＝6，sinB＝，则AD＝AB sinB＝6×＝2；
又BC＝5，则S△ABC＝×BC×AD＝×5×2＝5；
故△ABC的面积为5．
18．解：（1）解方程：x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4（1分）
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB＝5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC＝＝（4分）
（2）①∵S△AOE＝
∴OA OE＝
∴OE＝（5分）
∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）
②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵＝，
∴
∵∠AOE＝∠DAO＝90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）
19．解：在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC＝，
∴AD＝＝＝2．
∴BD＝2AD＝4，
∵tan∠ADC＝，DC＝＝＝1，
∴BC＝BD+DC＝5．
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+5+．
20．解：作BC⊥OX于点C，
∵OB＝2，∠BOX＝60°，
∴OC＝OB×cos60°＝1，BC＝OB×sin60°＝，
∴点B在平面直角坐标系xOy内的坐标为：（1，）．
1 / 3
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，其坐标为（8，y），且OA与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则y的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
2．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．608 B．608 C．64 D．68
6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）
A． B． C． D．
7．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算 时，构造出如图所示的图形：在Rt ACD中， ， ，延长 到 ， ，连接 ，得 ．根据此图可求得 的结果（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
10．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是_____m．
11．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 _______．
三、解答题
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
13．在中，，a，b，c分别为，，的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
14．在Rt中，，，，求，的度数．
15．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．
（1）求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
（2）为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．
四、综合题
16．如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
（1）求∠DCB的度数；
（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为3 ，求点F的坐标.
17．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，sinB＝，求△ABC的面积．
18．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6．若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
20．如图1，在平面内有射线Ox和一点A，连接OA，若OA＝1.5，∠AOx＝30°，则可用（1.5，30°）表示点A的位置，如图2，在平面内有一点B（2，60°），以O为坐标原点，以Ox为x轴建立平面直角坐标系，求点B在平面直角坐标系xOy内的坐标．
答案
1．B
2．A
3．C
4．C
5．B
6．A
7．C
8．
9．
10．（1，2）
11．
12．解：∵∠C=90°,∠ADC="45°，AC=5,
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ,
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5,
∴ BC=12,
∴ BD=7,
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°,
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
13．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）∵∠A＝10°，
∴∠B＝90° ∠A＝80°，
∵sin∠A＝，
∴c＝≈46.07，
由勾股定理可求出：b≈45.37；
（2）∵∠B＝33°，
∴∠A＝90° ∠B＝57°，
∵sin∠B＝，
∴c＝≈9.18，
∴由勾股定理可求出：a≈7.70；
（3）∵a＝5，c＝13，
∴由勾股定理可求出：b＝12，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B＝90° ＝；
（4）∵c＝，b＝，
∴由勾股定理可知：a＝8，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B≈.
14．，
【解析】Rt △ABC 中， ∠C=90° ，
∵
∴
∴∠B=90゜ －∠A=60゜
15．（1）；
（2）
【解析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，如图，
则DF=AE=4，EF=AD=2
∵，且AE=4
∴BE=4
∵
∴
∴
∴
∴
（2）
如图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则四边形GQEA是矩形，
∴GQ=AE=4，QE=AG=1
∵背水坡度为
∴
∴
∴ ，GD=GA+AD=1+2=3
∴
16．（1）解：在 中，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ ， ，且E是AD的中点，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
根据轴对称的性质知： ，故 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②过点E作 直线CD于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当点H在点G的右侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴点F的坐标为 ；
当点H在点G的左侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点F的坐标为 ；
综上所述：点F的坐标有两个，分别是 ， .
17．解：如图，作AD⊥BC的延长线于D；
由题意得：AB＝6，sinB＝，则AD＝AB sinB＝6×＝2；
又BC＝5，则S△ABC＝×BC×AD＝×5×2＝5；
故△ABC的面积为5．
18．解：（1）解方程：x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4（1分）
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB＝5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC＝＝（4分）
（2）①∵S△AOE＝
∴OA OE＝
∴OE＝（5分）
∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）
②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵＝，
∴
∵∠AOE＝∠DAO＝90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）
19．解：在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC＝，
∴AD＝＝＝2．
∴BD＝2AD＝4，
∵tan∠ADC＝，DC＝＝＝1，
∴BC＝BD+DC＝5．
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+5+．
20．解：作BC⊥OX于点C，
∵OB＝2，∠BOX＝60°，
∴OC＝OB×cos60°＝1，BC＝OB×sin60°＝，
∴点B在平面直角坐标系xOy内的坐标为：（1，）．
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