2021-2022学年湖南省湘西州凤凰县九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省湘西州凤凰县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．
C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
4．下列说法中错误的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．圆的内接平行四边形是矩形
C．三角形不一定有外接圆
D．90°的圆周角所对的弦是直径
5．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
6．以下事件为必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B．半径为2的圆的周长是4π
C．二次函数的图象必过原点
D．多边形的内角和是360°
7．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5．则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
8．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
9．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．小明从二次函数y＝ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：
①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．
你认为其中正确的信息是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，将正确答案填在答题卡相应横线上）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0无实数根，那么m的取值范围是　 　．
12．已知抛物线y＝x2﹣2x+5经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是　 　．
13．从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　 　．
14．如图，抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　 　．
15．已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为　 　．
16．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 　 　米．
17．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 　 　．
18．在数学课上，老师提出如下问题：
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，请你作出△ABC中BC边上的高．
小文说：连接AE，则线段AE就是BC边上的高．
老师说：“小文的作法正确．”
请回答：小文的作图依据是　 　．
三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出必要的计算或证明过程）
19．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
21．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．
22．甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”
（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；
（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．
23．如图，已知A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣1），C（﹣1，﹣2）是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．
25．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB＝1，OC＝3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．
C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），判断即可．
解：A．xy+2＝1，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B．x2+﹣2＝0，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C．x2﹣1＝0，是一元二次方程，故C符合题意；
D．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
3．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：B．
4．下列说法中错误的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．圆的内接平行四边形是矩形
C．三角形不一定有外接圆
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【分析】根据确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质分别判断进而得出答案即可．
解：A．直径是圆中最长的弦，正确，本选项不符合题意；
B．圆的内接平行四边形是矩形，正确，本选项不符合题意；
C．根据不在同一直线上的任意三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意；
D．根据圆周角定理的推论得：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
5．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵OP＝7＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
6．以下事件为必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B．半径为2的圆的周长是4π
C．二次函数的图象必过原点
D．多边形的内角和是360°
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，这是不可能事件，故A不符合题意；
B．半径为2的圆的周长是4π，这是必然事件，故B符合题意；
C．二次函数的图象必过原点，这是随机事件，故C不符合题意；
D．多边形的内角和是360°，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
7．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5．则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】连接OC，根据题意求出OP，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理解答即可．
解：连接OC，
∵AB＝12，BP：AP＝1：5，
∴BP＝2，AP＝10，
∴OP＝6﹣2＝4，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP＝＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CP＝4，
故选：B．
8．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π（cm）．
故选：A．
9．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
10．小明从二次函数y＝ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：
①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．
你认为其中正确的信息是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，故此选项正确；
②由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0，
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x＝﹣＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确；
③把x＝﹣1代入函数解析式，由函数的图象可知，x＝﹣1时，y＞0即a﹣b+c＞0；故此选项正确；
④因为函数的对称轴为x＝﹣＝，故2a＝﹣3b，即2a+3b＝0；故此选项错误；
⑤当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴⑤c﹣4b＞0，故此选项正确．
其中正确信息的有①②③⑤．
故选：A．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，将正确答案填在答题卡相应横线上）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0无实数根，那么m的取值范围是　m＞5　．
【分析】根据一元二次方程无实数根得出Δ＜0，代入求出即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0无实数根，
∴Δ＜0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，
解得：m＞5，
故答案为：m＞5．
12．已知抛物线y＝x2﹣2x+5经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是　y1＜y2　．
【分析】把x＝2和x＝3分别代入二次函数解析式，分别计算它们所对应的函数，然后比较大小．
解：当x＝2时，y1＝22﹣2×2+5＝5；当x＝3时，y1＝32﹣2×3+5＝8；
所以y1＜y2．
故答案为y1＜y2．
13．从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　　．
【分析】在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的概率；
解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；
故答案为：；
14．如图，抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　﹣2或1　．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，
就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）的横坐标，
故答案为﹣2或1．
15．已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为　40°　．
【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC＝AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．
解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°．
∵由旋转的性质可知；AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°．
∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠BAB′＝40°．
故答案为；40°．
16．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 　12　米．
【分析】由正六边形的半径为2，则OA＝OB＝2米；由∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，则AB＝OA＝OB＝2米，即可得出结果．
解：如图所示：
∵正六边形的半径为2米，
∴OA＝OB＝2米，
∴正六边形的中心角∠AOB＝＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∴AB＝2米，
∴正六边形的周长为6×2＝12（米）；
故答案为：12．
17．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 　16　．
【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；
解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC；
∴DE＝DA+EB，
∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝8，
∴△PDE的周长＝16．
故答案为：16
18．在数学课上，老师提出如下问题：
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，请你作出△ABC中BC边上的高．
小文说：连接AE，则线段AE就是BC边上的高．
老师说：“小文的作法正确．”
请回答：小文的作图依据是　直径所对的圆周角是直角或三角形的高的定义　．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论．
解：∵直径所对的圆周角是直角，
∴连接AE，则线段AE就是BC边上的高．
故答案为：直径所对的圆周角是直角或三角形高的定义．
三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出必要的计算或证明过程）
19．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）由（1）的范围得到k＝1或k＝2，然后把k＝1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值．
解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4（k﹣2）＞0，
解得k＜3；
（2）∵k为正整数，
∴k＝1或k＝2，
当k＝1时，Δ＝8，所以该方程的根为无理数，
当k＝2是，原方程为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，
所有k的值为2．
21．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．
【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．
（1）求出x＝1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．
解：（1）本题答案不唯一，如：
以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．
设这条抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）（x+4）．
∵抛物线经过点C，
∴﹣16a＝6．
∴a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．
（2）当x＝1时，y＝，
∵4.4+0.5＝4.9＜，
∴这辆货车能安全通过这条隧道．
22．甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”
（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；
（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．
【分析】（1）先列表展示所有9种等可能的结果数，再找出数字相同的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）分别计算出甲和乙获胜的概率，然后比较概率大小后判断游戏的公平性．
解：（1）列表如下：
甲/乙
2 3 4
1 （1，2）乙胜 （1，3）乙胜 （1，4）乙胜
3 （3，2）甲胜 （3，3）平局 （3，4）乙胜
6 （6，2）甲胜 （6，3）甲胜 （6，4）甲胜
由列表可知，可能出现的结果有9个，平局的结果有1个，
所以P（平局）＝．…
（2）甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，
所以两方获胜的概率相等，游戏规则对双方是公平的．
23．如图，已知A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣1），C（﹣1，﹣2）是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）确定点A2的位置，再根据网格结构写出h的取值范围即可．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图，4.5＜h＜6．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，于是得到BE＝BC＝，CE＝3，根据勾股定理得到AC＝＝5，于是得到AP＝AC＝5．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，
∴BE＝BC＝，CE＝3，
∵AB＝4+，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∴在Rt△ACE中，AC＝＝5，
∴AP＝AC＝5．
∴在Rt△PAO中，OA＝，
∴⊙O的半径为．
25．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
【分析】（1）根据销量＝原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）表示出网络经销商所获得的利润＝6300，解方程即可求出x的值；
（3）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．
解：（1）由题意可知y＝5x+30；
（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6300，
即x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝24或36（舍）
∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
（3）根据题意可得：w＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），
＝﹣5x2+300x+1980，
＝﹣5（x﹣30）2+6480，
∵a＝﹣5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝30时，w有最大值为6480元，
∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB＝1，OC＝3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M的坐标．
【分析】（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点D及点E的坐标，继而得出直线AE与直线CD的解析式，联立求出点F坐标，根据S四边形ODFE＝S△AOE﹣S△ADF，可得出答案．
（3）连接OM，设M点的坐标为（m，n），继而表示出△AMC的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
解：（1）∵OB＝1，OC＝3，
∴C（0，﹣3），B（1，0）
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A（﹣3，0），
所以抛物线过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），可得，
解得，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，
∴E（0，﹣1），D（﹣1，0），
可求出直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，
直线DC的解析式为y＝﹣3x﹣3，
联立直线AE与直线DC的解析式：
解得：，
∵点F为直线AE与直线DC交点，
∴点F坐标为（，），
∴AD×|F纵|＝，
S四边形ODFE＝S△AOE﹣S△ADF＝﹣＝．
（3）连接OM，AM，MC，设M点的坐标为（m，n），
∵点M在抛物线上，
∴n＝m2+2m﹣3，
∴S△AMC＝S△AMO+S△OMC﹣S△AOC＝OA |m|+OC |n|﹣OA OC
＝﹣（m+n）﹣
＝﹣（m+n+3）
＝﹣（m2+3m）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣3＜m＜0，
∴当m＝﹣时，n＝﹣，△AMC的面积有最大值，
即当点M的坐标为（）时，△AMC的面积有最大值．