2021-2022学年湖南省怀化市通道县八年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2021-2022学年湖南省怀化市通道县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．3的算术平方根是（　　）
A．±3 B． C．3 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．3﹣2＝9 C． D．x12÷x2＝x6
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm
4．某新冠病毒的直径是101纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（　　）
A．101×10﹣9 B．10.1×10﹣8 C．1.01×10﹣7 D．0.101×10﹣6
5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列关于的叙述错误的是（　　）
A．是无理数
B．数轴上不存在表示的点
C．
D．边长为的正方形面积是5
8．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
10．不等式2（1﹣2x）≤12﹣6x最大整数解是的解，则a的值是（　　）
A． B． C．0 D．﹣2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．＝　 　．
12．若分式的值为零，则x的值为 　 　．
13．计算：＝　 　．
14．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝5，CD＝2，则△ABC的面积为 　 　．
15．一副分别含有30°角、45°角的三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是 　 　．
16．不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．已知，若，求A的值．
20．如图，已知点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，AB∥CD，∠B＝∠D．请问线段AB与CD相等吗？说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规完成作图：作AB的垂直平分线交AC于E，垂足为D，连接BE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠A＝34°，求∠EBC的度数．
（3）若△BCE的周长为24，AB＝14，求BC的长．
22．解答下列两题：
（1）若关于x的分式方程的增根为x＝3，求a的值．
（2）已知a，b，c满足，试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由，并求出三角形的周长；若不能，也请说明理由．
23．某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？
24．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）求∠AOE的度数．
（3）PQ与AE是否平行？请证明你的结论．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．3的算术平方根是（　　）
A．±3 B． C．3 D．
【分析】利用算术平方根的定义求解．
解：3的算术平方根是．
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．3﹣2＝9 C． D．x12÷x2＝x6
【分析】利用同底数幂的除法的法则，负整数指数幂，对各项进行运算即可．
解：A、，故A符合题意；
B、3﹣2＝，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、x12÷x2＝x10，故D不符合题意；
故选：A．
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、1+1＝2＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．某新冠病毒的直径是101纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（　　）
A．101×10﹣9 B．10.1×10﹣8 C．1.01×10﹣7 D．0.101×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：120纳米用科学记数法表示为1.2×10﹣7米．
故选：C．
5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
7．下列关于的叙述错误的是（　　）
A．是无理数
B．数轴上不存在表示的点
C．
D．边长为的正方形面积是5
【分析】根据实数与数轴，实数的意义逐一判断即可．
解：A．是无理数，故A不符合题意；
B．数轴上存在表示的点，故B符合题意；
C．2＜＜3，故C不符合题意；
D．边长为的正方形面积是5，故D不符合题意；
故选：B．
8．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝＝，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.＝5，故D不符合题意；
故选：C．
9．如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：A、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（ASA），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），正确，故本选项错误；
故选：B．
10．不等式2（1﹣2x）≤12﹣6x最大整数解是的解，则a的值是（　　）
A． B． C．0 D．﹣2
【分析】根据不等式2（1﹣2x）≤12﹣6x求得x的最大整数解，代入是，即可求得a的值．
解：2（1﹣2x）≤12﹣6x，
2﹣4x≤12﹣6x，
6x﹣4x≤12﹣2，
2x≤10，
x≤5，
∴不等式2（1﹣2x）≤12﹣6x最大整数解是5，
把x＝5代入得，﹣5＝，
∴＝5，
∴a＝，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．＝　2　．
【分析】先化成最简根式再根据二次根式的除法法则相除即可求解．
解：原式＝＝＝＝2．
故答案为：2．
12．若分式的值为零，则x的值为 　﹣1　．
【分析】首先根据题意可知，x﹣1≠0，即可推出x≠1，然后根据分式的值为零，推出分子|x|﹣1＝0，求出x＝±1，总上所述确定x＝﹣1．
解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0，
∴x＝±1，
∵当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，
∴x＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．计算：＝　x﹣1　．
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
解：原式＝+
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
14．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝5，CD＝2，则△ABC的面积为 　10　．
【分析】根据等腰三角形的性质得出BC＝2DC，进而利用三角形的面积公式解答．
解：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD＝DC，
∵AD＝5，CD＝2，
∴BC＝4，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：10．
15．一副分别含有30°角、45°角的三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是 　15°　．
【分析】由题意可得∠CAB＝45°，∠E＝30°，利用三角形的外角性质可求得∠AFE＝15°，再由对顶角相等即可求得∠BFD的度数．
解：由题意得：∠CAB＝45°，∠E＝30°，
∵∠CAB是△AEF的外角，
∴∠AFE＝∠CAB﹣∠E＝15°，
∴∠BFD＝∠AFE＝15°．
故答案为：15°．
16．不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 　a≥﹣3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集得到关于a的不等式，解之即可．
解：由x﹣2＜3a，得：x＜3a+2，
由﹣2x＞﹣2a+8，得：x＜a﹣4，
∵不等式组的解集为x＜a﹣4，
∴a﹣4≤3a+2，
解得a≥﹣3，
故答案为：a≥﹣3．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
解：（1）原式＝1﹣16+2
＝﹣13；
（2）原式＝
＝3．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：不等式5（x﹣1）＞4x﹣7的解集是x＞﹣2，
不等式的解集是x＞6，
所以不等式组的解集是x＞6，
解集在数轴上正确表示出来如下：
19．已知，若，求A的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：A＝﹣÷
＝﹣
＝
＝﹣
＝
＝，
当时，＝．
20．如图，已知点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，AB∥CD，∠B＝∠D．请问线段AB与CD相等吗？说明理由．
【分析】由平行线的性质得出∠A＝∠C，证明△ABF≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝CD．
解：AB＝CD．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规完成作图：作AB的垂直平分线交AC于E，垂足为D，连接BE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠A＝34°，求∠EBC的度数．
（3）若△BCE的周长为24，AB＝14，求BC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
（2）结合（1）根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；
（3）根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，进而可以解决问题．
解：（1）如图，DE即为所求；
（2）由（1）知：DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝34°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣34°）＝73°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝73°﹣34°＝39°；
∴∠EBC的度数为39°；
（3）∵△BCE的周长为24，AC＝AB＝14，
∴BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝24，
∴BC＝24﹣14＝10．
22．解答下列两题：
（1）若关于x的分式方程的增根为x＝3，求a的值．
（2）已知a，b，c满足，试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由，并求出三角形的周长；若不能，也请说明理由．
【分析】（1）先把分式方程化作整式方程，然后把x＝3代入整式方程中进行计算即可解答；
（2）先根据偶次方，绝对值，算术平方根的非负性求出a，b，c的值，然后利用三角形的三边关系判断即可解答．
【解答】解（1），
x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），
∵关于x的分式方程的增根为x＝3，
∴把x＝3代入x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3）中得：
3（3+a）﹣0＝0，
3+a＝0，
∴a＝﹣3，
所以，a的值是﹣3；
（2）以a，b，c为边能构成三角形，
理由：∵a，b，c满足，
∴a﹣＝0，b﹣4＝0，c﹣＝0，
∴，b＝4，＝2，
∵，
所以，以a，b，c为边能构成三角形，
∴三角形的周长＝，
∴三角形的周长为：4+3．
23．某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？
【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入（x+20）中即可求出篮球的单价；
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40﹣y）个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案．
解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，
依题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝40+20＝60．
答：足球的单价为40元，篮球的单价为60元．
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40﹣y）个，
依题意得：，
解得：．
又∵y为正整数，
∴y＝16，
∴共1个购买方案，购买足球16个，篮球24个．
24．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）求∠AOE的度数．
（3）PQ与AE是否平行？请证明你的结论．
【分析】（1）先判断出AC＝BC DC＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，即可得出结论；
（2）由（1）得∠CAD＝∠CBE，进而求出答案；
（3）PQ与AE平行；先判断出APC≌△BQC，得出CP＝CQ，进而判断出△CPQ是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）得∠CAD＝∠CBE，
∴∠AOE＝∠ABO+∠BAO
＝（∠ABC+∠CBE）+∠BAO
＝（∠ABC+∠CAD）+∠BAO
＝∠ABC+（∠CAD+∠BAO）
＝∠ABC+∠BAC＝120°；
（3）解：PQ与AE平行；
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠PCQ＝60°，
在△APC和△BQC中，
，
∴△APC≌△BQC（ASA），
∴CP＝CQ，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠QPC＝60°＝∠ACB，
∴PQ与AE平行．