2021-2022学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（word解析版）

2021-2022学年山东省济南市莱芜区八年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
2．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
3．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）
甲 乙 丙 丁
6 7 7 6
s2 1 1.1 1 1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在对一组样本数据进行分析时，小月列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的众数是3 B．样本的中位数是2.5
C．样本的平均数是3 D．n＝4
6．如果一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC平移后得到△A'B'C'，顶点C平移到了点C'（2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，3） C．（﹣2，0） D．（0，1）
8．关于x的分式方程+5＝有增根，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝22°，则∠ADC＝（　　）
A．57° B．62° C．67° D．72°
10． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
11．某班学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了15分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学速度的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
14．化简的结果是 　 　．
15．“阳光小区”开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上个月的用水量进行比较，统计出节水情况如表：
节水量（m3） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
家庭数（个） 3 2 3 1 1
那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数是 　 　．
16．如图，已知 ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 　 　．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 　 　．
18．已知：有理数a≠1，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a1 a2…a2022＝　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．解方程：+＝4．
20．先化简再求值：（﹣1）÷，其中a＝1．
21．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形．
22．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，请解答以下问题：
（1）按要求作图：
先将△OAB绕原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，再作出△OA2B2，使它与△OA1B1关于原点成中心对称；
（2）直接写出点A1的坐标 　 　；点B2的坐标 　 　．
23．2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七、八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 8 a
众数 8 9
优秀率 b 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）估计该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长．
25．某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
（2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？
26．点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
27．（1）如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角顶点为点A，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转．
①如图2，将△AMN绕点A旋转，使点M落在BC边上，连接CN．
直接写出图中的全等三角形：　 　；直接写出线段CN，CM，CB之间满足的等量关系为：　 　；
②如图2，试探索线段MA，MB，MC之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；
（2）如图3，P是等腰直角△ABC内一点，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，将△BAP绕点A顺时针旋转90°后得到△CAQ，连接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
2．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
解：A．该分式符合最简分式的定义，符合题意；
B．该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是最简分式，不符合题意
C．该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），不是最简分式，不符合题意；
D．该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
3．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）
甲 乙 丙 丁
6 7 7 6
s2 1 1.1 1 1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
4．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．在对一组样本数据进行分析时，小月列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的众数是3 B．样本的中位数是2.5
C．样本的平均数是3 D．n＝4
【分析】根据方差的计算公式得出数据为2、3、3、4，再利用众数、中位数、平均数的定义求解即可．
解：由题意知，这组数据2、3、3、4，
所以样本的众数是3，中位数是＝3，平均数为＝3，n＝4，
故选：B．
6．如果一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
【分析】根据多边形的内角和公式、外角和公式，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：设这个多边形是n边形，由题意，得
（n﹣2）×180°＝5×360°．
解得n＝12，
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC平移后得到△A'B'C'，顶点C平移到了点C'（2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，3） C．（﹣2，0） D．（0，1）
【分析】根据上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减，可得结论．
解：∵顶点C（0，2）平移到了点C'（2，1），
∴，△ABC向右平移了2﹣2＝2个单位，向下平移了2﹣1＝1个单位，
∴点B（﹣3，1）向右平移2个单位，向下平移1个单位，
得到B'（﹣1，0），
故选：A．
8．关于x的分式方程+5＝有增根，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
解：7x+5（x﹣1）＝2m﹣1
x＝
由题意可知：x＝代入x﹣1＝0，
﹣1＝0
解得：m＝4
故选：B．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝22°，则∠ADC＝（　　）
A．57° B．62° C．67° D．72°
【分析】由旋转的性质可得CA＝CE，∠ACE＝90°，∠ACB＝∠DCE＝22°，从而得△ACE是等腰直角三角形，进而得∠E＝45°，最后利用∠ADC是△CDE的外角即可解答．
解：由旋转可得：
∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∵∠ADC是△CDE的一个外角，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+22°＝67°，
故选：C．
10． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
11．某班学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了15分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学速度的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语：“过了15分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间＝．
解：设骑车学生的平均速度为xkm/h，则汽车的平均速度为3xkm/h．
根据题意，列方程得．
故选：B．
12．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通过证明四边形BGFE是平行四边形，可得GN＝NE，故①正确；由等腰三角形的性质可得BE⊥AC，由平行四边形的性质可证GF⊥AE，故②正确；由外角的性质可得∠BOC＞∠ACD，由等腰三角形的性质可得∠BOC＝∠BCO≠∠ACD，故③错误；由等腰三角形的性质可得BE⊥AE，可得∠BOE＜90°，则AC与BD不垂直，故④错误，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，EF∥CD，AB＝2BG，
∴BG＝EF，AB∥EF∥CD，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴GF∥BE，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，故②正确；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，故③错误；
∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，故④错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．分解因式：a3﹣2a2+a＝　a（a﹣1）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
14．化简的结果是 　　．
【分析】直接将原式通分，进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝+
＝
＝．
故答案为：．
15．“阳光小区”开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上个月的用水量进行比较，统计出节水情况如表：
节水量（m3） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
家庭数（个） 3 2 3 1 1
那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数是 　0.45　．
【分析】根据加权平均数的计算公式即可求出答案．
解：根据题意得：
（0.3×3+0.4×2+0.5×3+0.6×1+0.7×1）＝0.45（m3），
答：这10个家庭的节水量（m3）的平均数是0.45m3．
故答案为：0.45．
16．如图，已知 ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 　13　．
【分析】根据平行四边形的性质知O为BD的中点，即可判断OE是△DBC的中位线，即OE＝BC，从而得出△BCD的周长是△DOE的周长的二倍，再根据BC+CD是平行四边形周长的一半求出BD的长即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为38，
∴O是BD的中点，BC+CD＝38×＝19，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△DBC的中位线，
∴△BCD的周长是△DOE的周长的2倍，
即BD+BC+DC＝2（OD+OE+ED）＝2×16，
∴BD+19＝32，
解得：BD＝13，
故答案为：13．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 　（5，6）　．
【分析】根据平移的性质知BF＝AD．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度．
解：∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，
∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4．
又∵点B的对应点F是直线y＝x上的一点，
∴4＝x，解得x＝7．
∴点F的坐标是（7，4），
∴BF＝5．
∴根据平移的性质知AD＝BF＝5，
∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
18．已知：有理数a≠1，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a1 a2…a2022＝　1　．
【分析】通过计算可得规律：每3次运算结果循环一次，并且a1 a2 a3＝﹣1，即可求解．
解：∵a1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝﹣2，
a4＝＝，
…，
∴每3次运算结果循环一次，
∵a1＝，a2＝，a3＝﹣2，
∴a1 a2 a3＝﹣1，
∵2022÷3＝674，
∴a1 a2…a2022＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．解方程：+＝4．
【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
解：给分式方程两边同时乘以2x﹣3，
得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得x＝1，
检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，
所以x＝1是原分式方程的解．
20．先化简再求值：（﹣1）÷，其中a＝1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当a＝1时，
原式＝＝1．
21．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则∠ODF＝∠OBE，再证△DOF≌△BOE（ASA），得DF＝BE，则AF＝EC，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
22．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，请解答以下问题：
（1）按要求作图：
先将△OAB绕原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，再作出△OA2B2，使它与△OA1B1关于原点成中心对称；
（2）直接写出点A1的坐标 　（﹣1，3）　；点B2的坐标 　（2，﹣2）　．
【分析】（1）根据旋转的性质先将△OAB绕原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，再根据对称的性质作出△OA2B2，使它与△OA1B1关于原点成中心对称；
（2）结合（1）即可写出点A1的坐标；点B2的坐标．
解：（1）如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求；
（2）点A1的坐标（﹣1，3）；点B2的坐标（2，﹣2）．
故答案为：（﹣1，3）；（2，﹣2）．
23．2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七、八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 8 a
众数 8 9
优秀率 b 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　9　，b＝　45%　；
（2）估计该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．
（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
解：（1）∵八年级教师竞赛成绩中9分以下的占：5%+10%+30%＝45%，
故从小到大排列第10、11个数均为9，
∴a＝9，
b＝＝45%；
故答案为：9；45%；
（2）该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为：80×＝68（人）；
（3）根据表中可得，七八年级的平均数一样，但八年级的中位数、众数，优秀均高于七年级，因此八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．
24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长．
【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是平行四边形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为直角三角形，由勾股定理求出BD的长即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AC∥DF，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
又∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°
∴∠DAB＝90°，
由勾股定理得BD＝，
∵△AEC≌△ADB，
∴EC＝DB＝．
25．某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
（2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
解：（1）设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为1.5x元/千克，
﹣＝10，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原分式方程的解，
∴1.5x＝15，
答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（13﹣10）a+（20﹣15）（100﹣a）＝﹣2a+500，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，
∴a≥3（100﹣a），
解得a≥75，
∴当a＝75时，w取得最大值，此时w＝350，100﹣a＝25，
答：超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元．
26．点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【分析】（1）利用三角形的中位线可得AB∥MF，AB＝MF，结合平行四边形的性质可得MF∥CD，MF＝CD，进而可证明结论；
（2）连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，证明四边形AFBE是平行四边形，再利用平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，AB＝MN，
∵MF＝MN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
27．（1）如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角顶点为点A，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转．
①如图2，将△AMN绕点A旋转，使点M落在BC边上，连接CN．
直接写出图中的全等三角形：　△BAM≌△CAN　；直接写出线段CN，CM，CB之间满足的等量关系为：　CN+CM＝CB　；
②如图2，试探索线段MA，MB，MC之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；
（2）如图3，P是等腰直角△ABC内一点，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，将△BAP绕点A顺时针旋转90°后得到△CAQ，连接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的长．
【分析】（1）①根据SAS可证△BAM≌△CAN，得出BM＝CN，即可得出CN+CM＝CB；
②同理证△BAM≌△CAN，得出∠ACN＝∠B＝45°，即∠BCN＝90°，根据勾股定理即可得出CN2+MC2＝MN2，进而得出MB2+MC2＝2MA2；
（2）由旋转知△BAP≌△CAQ，得出△PAQ是等腰直角三角形，推出PC2＝PA2+QA2，即可得出PC．
解：（1）①∵∠BAM+∠MAC＝90°，∠CAN+∠MAC＝90°，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中：
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∵BM+CM＝CB，
∴CN+CM＝CB，
故答案为：△BAM≌△CAN，CN+CM＝CB；
②MB2+MC2＝2MA2；证明如下：
同理①可证△BAM≌△CAN，
∴∠ACN＝∠B＝45°，
即∠BCN＝90°，
∴CN2+MC2＝MN2，
在R△MAN中，MN2＝MA2+AN2＝2MA2，
∴MB2+MC2＝2MA2；
（2）由旋转知△BAP≌△CAQ，
∴PA＝QA＝2，∠PAQ＝∠BAC＝90°，CQ＝BP＝3，
∴△PAQ为等腰直角三角形，
∴PQ2＝PA2+QA2＝22+22＝8，
∵∠PQC＝90°，
∴PC2＝PQ2+QC2＝8+32＝17，
∴PC＝．