2021-2022学年山东省淄博市张店区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市张店区八年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列图形中一定是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．平行四边形
2．分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
4．如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AA′∥BB′ B．AA'＝BB'
C．∠ACB＝∠A'B'C' D．BC＝B'C'
5．下列运算正确的是（　　）
A． ＝ B．
C．＝ D．＝
6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）
7．每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
收入（点） 15 21 27 27 21 30 21
A．27点，21点 B．21点，27点 C．21点，21点 D．24点，21点
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（　　）
A．（b﹣6a）（b﹣2a） B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a） D．（b﹣2a）2
9．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3米3．若设该市去年居民用水的价格为x元/米3，则根据题列得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（　　）
A．96° B．100° C．108° D．115°
11．如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
12．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x＝（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．使分式有意义的x的取值范围是 　 　．
14．如果x+y＝﹣2，x﹣y＝1，那么代数式2x2﹣2y2的值是 　 　．
15．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　．
16．若解关于x的分式方程+1＝a的过程中产生了增根，则a＝　 　．
17．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　 　．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
19．解方程：
（1）+＝1
（2）﹣＝0
20．如图，DE是△ABC的中位线，请判断中位线DE与边BC的关系，并说明理由．
21．某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示．
根据以上信息解答下列问题：
（1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为 　 　分；
（2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数；
（3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好．
22．春晚不仅是一台文艺盛宴，同时也是科技创新的盛会．2022年春晚继续创新技术运用，大幅度融合前沿科技手段，充分呈现总台“5G+4K/8K+AI”战略迅猛发展的最新成果．5G是未来社会的基础设施，是国家战略．5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输1000兆数据，5G网络比4G网络快约90秒，求5G和4G这两种网络的峰值速率．
23．问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）．
迁移应用：如图1，AB∥CD，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2．
拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图）
（1）如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由；
（2）如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由．
24．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　．
（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，AM＝MD＝，AN＝CN＝2．（温馨提示：＝2），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△MPN面积的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列图形中一定是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．平行四边形
【分析】根据中心对称图形的概念分别分析得出答案．
解：A．三角形不一定是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．四边形不一定是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．正五边形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
解：由分式的基本性质，把分式的分子和分母同时乘以﹣1得，（﹣1）×（﹣）＝．
故选：D．
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
解：A、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故此选项符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2xy+y2＝（x+y）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AA′∥BB′ B．AA'＝BB'
C．∠ACB＝∠A'B'C' D．BC＝B'C'
【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．
解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形A'B'C'，
∴AA'∥BB'，故A正确；
AA'＝BB'，故B正确；
∠ACB＝∠A′C′B′，∠A′C′B′和∠A′B′C′大小关系不确定，故C错误；
BC＝B'C'，故D正确，
故选：C．
5．下列运算正确的是（　　）
A． ＝ B．
C．＝ D．＝
【分析】根据分式乘法运算法则进行计算，从而判断A，根据异分母分式加减法运算法则进行计算，从而判断B、C、D．
解：A、原式＝＝，故此选项不符合题意；
B、原式＝＝，故此选项不符合题意；
C、原式＝＝，故此选项不符合题意；
D、原式＝＝＝，故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）
【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．
解：观察图象，可知C′（﹣2，3），
故选：B．
7．每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
收入（点） 15 21 27 27 21 30 21
A．27点，21点 B．21点，27点 C．21点，21点 D．24点，21点
【分析】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，中间位置的数是21，出现次数最多的数是21，从而得出答案．
解：将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，
所以中位数为21，众数为21，
故选：C．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（　　）
A．（b﹣6a）（b﹣2a） B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a） D．（b﹣2a）2
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a （b﹣2a） 4＝4a （b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a （b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a） （b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣2a） （b﹣6a），
故选：A．
9．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3米3．若设该市去年居民用水的价格为x元/米3，则根据题列得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由价格的调整可得出今年居民用水的价格为（1+）x元/米3，利用用水量＝应缴水费费用÷单价，结合小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3米3，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵该市去年居民用水的价格为x元/米3，从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，
∴今年居民用水的价格为（1+）x元/米3．
依题意得：﹣＝3．
故选：C．
10．如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（　　）
A．96° B．100° C．108° D．115°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的内角和定理得到∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故选：C．
11．如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可．
解：
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），
∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
12．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x＝（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．10
【分析】根据题意求出所求式子的最小值即可．
解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即＝x+，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，
矩形的周长是2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有x＝，（x＞0），
解得x＝3，
这时矩形的周长2（x+）＝12最小，
因此x+（x＞0）的最小值是6．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．使分式有意义的x的取值范围是 　x≠3　．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
14．如果x+y＝﹣2，x﹣y＝1，那么代数式2x2﹣2y2的值是 　﹣4　．
【分析】先因式分解，再整体代入求值．
解：∵x+y＝﹣2，x﹣y＝1．
∴原式＝2（x ﹣y ）＝2（x+y）（x﹣y）＝2×（﹣2）×1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝　2　．
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
16．若解关于x的分式方程+1＝a的过程中产生了增根，则a＝　﹣1　．
【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，由解关于x的分式方程+1＝a的过程中产生了增根得到x＝1，代入整式方程即可求出a的值．
解：方程两边同乘x 1得：x+a+x﹣1＝a（x﹣1），
∵解关于x的分式方程+1＝a的过程中产生了增根，
∴x﹣1＝0，
解得x＝1，
将x＝1代入方程得：1+a+1﹣1＝a（1﹣1），
解得：a＝ 1．
故答案为： 1．
17．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　3　．
【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD＝CG以及∠FCD＝∠ECG，由旋转的性质可得出EC＝FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF＝GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠FCD＝∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF＝GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG＝DF＝CD＝BC＝3．
故答案为3．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
解：原式＝[﹣]÷
＝（）
＝
＝，
由题意得：x≠±1，
当x＝2时，原式＝＝1．
19．解方程：
（1）+＝1
（2）﹣＝0
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：3x﹣x﹣2＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
20．如图，DE是△ABC的中位线，请判断中位线DE与边BC的关系，并说明理由．
【分析】延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，证明△ADE≌△CEF，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠ADE＝∠F，根据平行四边形的性质证明即可．
解：DE∥BC且DE＝BC．
理由如下：延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC且DE＝BC．
21．某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示．
根据以上信息解答下列问题：
（1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为 　95　分；
（2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数；
（3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好．
【分析】（1）根据中位数的定义可得答案；
（2）按照平均数的计算方法计算即可；
（3）计算初中代表队的方差，再比较即可．
解：（1）五个人的成绩从小到大排列为：90、90、95、100、100．
第3个数为中位数，所以中位数是95；
故答案为：95；
（2）高中代表队的平均数为（90+90+95+100+100）÷5＝95（分），
初中代表队的平均数为（80+90+90+90+100）÷5＝90（分）；
（3）初中代表队的方差为×[（80﹣90）2+（90﹣90）2+（90﹣90）2+（90﹣90）2+（100﹣90）2]＝40（分2），
∵95＞90，20＜40，
∴高中代表队成绩较好．
22．春晚不仅是一台文艺盛宴，同时也是科技创新的盛会．2022年春晚继续创新技术运用，大幅度融合前沿科技手段，充分呈现总台“5G+4K/8K+AI”战略迅猛发展的最新成果．5G是未来社会的基础设施，是国家战略．5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输1000兆数据，5G网络比4G网络快约90秒，求5G和4G这两种网络的峰值速率．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据，由题意：在峰值速率下传输1000兆数据，5G网络比4G网络快约90秒，列出分式方程，解方程即可．
解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据，
依题意得：﹣＝90，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则10x＝10×10＝100，
答：4G网络的峰值速率为每秒传输10兆数据，5G网络的峰值速率为每秒传输100兆数据．
23．问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）．
迁移应用：如图1，AB∥CD，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2．
拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图）
（1）如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由；
（2）如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由．
【分析】问题背景：用反证法证明即可；
迁移应用：由两条平行线之间的距离处处相等，可得S△EFH＝S△GFH，即可证S1＝S2；
拓展延伸：（1）取BC中点E，连接AE，则直线AE为所求直线；
（2）取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC与点F，连接NF，则直线NF为所求直线．
解：问题背景：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB，GH⊥AB．求证：EF＝GH．
证明：假设 EF≠GH，
将GH沿着直线BA的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线AB上，
∵EF≠GH，
∴点Q与点F不重合，
∵EQ∥GH，GH⊥AB，
∴EQ⊥AB，而EF⊥AB，
同时EQ⊥AB，这与基本事实在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾．
∴假设不正确，
∴EF＝GH．
迁移应用：∵AB∥CD
∴△EFH与△GFH是等高的两个三角形
∴S△EFH＝S△GFH，
∴S△EFO＝S△GHO，
∴S1＝S2，
拓展延伸：（1）如图2，取BC中点E，连接AE，则直线AE为所求直线．
（2）如图3，取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC与点F，连接NF，则直线NF为所求直线．
24．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是 　相等　，位置关系是 　垂直　．
（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，AM＝MD＝，AN＝CN＝2．（温馨提示：＝2），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△MPN面积的最大值和最小值．
【分析】（1）根据三角形中位线定理，将PN和PM转换到BD和CE的大小和位置上求得结果；
（2）证明△ABD≌△ACE，进而得出BD＝CE，BD⊥CE，进而得出PN＝PM，PM⊥PN；
（3）取AD，AC的中点E，F，证明△PEM≌△NFP，进而得出△PMN是等腰直角三角形，进一步求得结果．
解：（1）∵PN是△BCD的中位线，
∴PN＝，
同理可得：PM＝，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵AB⊥AC，
∴PM⊥PN，
故答案是：相等，垂直；
（2）如图1，
延长BD交CE于Q，交AC于O，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠COQ，
∴∠CQO＝∠BAC＝90°，
∴BQ⊥CE，
∵PN是△BCD的中位线，
∴PN＝，PN∥BD，
同理可得：PM＝，PM∥CE，
∴PM＝PN，PM⊥PN；
（3）如图2，
作ME⊥AD于E，NF⊥AC于F，
∴∠MED＝∠CFN＝90°，
∵AM＝MD，AN＝CN，
∴ME＝DE＝AE＝，CF＝AF＝FN＝，
∵P是CD的中点，
∴PF＝，PE＝，PE∥AC，PF∥AD，
∴DE＝PF，PE＝FN，∠DPE＝∠DAC＝∠PFC，∠FPE＝∠DEP，
∵∠PEM＝∠MED+∠DEP＝90°+∠DEP，
∠PFN＝∠NFC+∠PFC＝90°+∠DEP，
∴∠PEM＝∠PFN，
∴△PEM≌△NFP（SAS），
∴PM＝PN，∠FPN＝∠PME，
∴∠MPN＝∠MPE+∠FPN+∠EPF＝（∠MPE+∠PME）+∠PED＝180°﹣∠MEP+∠PED＝180°﹣（∠MEP﹣∠PED）＝180°﹣∠MED＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴S△MPN＝＝，
∴当MN最大时2，△MPN的面积最大，当MN最小时，△MPN的面积最小，
∵MN≤AM+AN，MN≥AN﹣AM，
∴当M在NA的延长线上时，MN最大＝AN+AM＝2＝3，
当点M在AN上上，MN最小＝AN﹣AM＝2，
∴S△MPN最大＝×2＝，S△MPN最小＝（）2＝．