18.1.2 平行四边形的判定教学 课件（共42页）

(共42张PPT)
18.1平行四边形
人教版八下数学
18.1.2平行四边形的判定
精品同步教学课件
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
问题1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
问题引入
想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等，邻角互补.
边
角
对角线
平行四边形的对角线互相平分.
问题引入
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
性质1：平行四边形的对边相等.
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
自主学习
证明：连接BD．
∵AB=CD，AD=BC，
且BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1
自主学行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
自主学习
例 1
要证四边形BFDE是平行四边形，
根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采
用判定方法一即定义法证明DE∥FB即可．
如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，
DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分
∠ABC，交AD的延长线于点F.
求证：四边形BFDE是平行四
边形．
导引：
典例分析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别
平行的四边形是平行四边形)
证明：
典例分析
1.
如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF. 图中有哪些互相平行的线段？
AB∥CD，AD∥BC，
CD∥EF，DE∥CF，
AB∥EF.
解：
课堂练习
2.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
课堂练习
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD，
证明：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2
自主学行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
自主学习
例 2
如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于
点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边
形BFDE是平行四边形吗？为什么？
利用平行四边形对角相等的性质可得∠ABC＝
∠ADC，∠A＝∠C，然后
再依据角平分线的定
义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组
对角分别相等，于是可得出结论．
导引：
典例分析
四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
解：
典例分析
1.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
课堂练习
2 . 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行
四边形的是(　　)
A．AB∥CD，AD＝BC
　B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
　 D．∠B＝∠C，∠A＝∠D
C
课堂练习
对角线互相平分的四边形是平行四边形
3
过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、
对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角
相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也
就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边
形”为例，通过三角形 全等进行证明.
思考
自主学习
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD≌△COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC. 同理 AB//DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
自主学行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
自主学习
例3
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵ AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又 BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.
如图， ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，
E，F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：
典例分析
解：
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中 点. 求证BE＝DF.
1.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BO＝DO，OA＝OC.
因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以OE＝ OA＝ OC＝OF. 又因为∠BOE＝∠DOF，所以△BOE≌△DOF，所以BE＝DF.
课堂练习
2.
如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
4
课堂练习
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它
的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形吗？
我们猜想这个结论正确，下面进行证明.
思考
自主学习
如图，在四边形ABCD中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
连接AC，
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA.
∴△ ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD两组对边分别相等，它是平行四
边形.
证明：
自主学行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
自主学习
例 4
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= AB，FD= CD，
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：
典例分析
归 纳
要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：
一是证明另一组对边平行；
二是证明平行的这组对边相等．
而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．
自主学习
1.
如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE丄BD， CF丄BD，E，F为垂足. 求证：四边形AFGE是平行四边形.
课堂练习
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.
又因为AE⊥BD，CF⊥BD，
所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.
在△ABE和△CDF中，
AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，
所以△ABE≌△CDF，所以AE＝CF.
又因为AE∥CF，所以四边形AFCE是平行四边形．
解：
课堂练习
下列说法错误的是(　　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是
平行四边形
2.
D
课堂练习
3.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(　　)
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
B
课堂练习
4.
如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是(　　)
①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.
A．①或②　
B．②或③
C．③或④　
D．①或③
C
课堂练习
5.
下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)　
A．AB∥CD，AD∥BC
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
D
课堂练习
6.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．
即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
∴四边形ABED是平行四边形．
课堂练习
7.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．
求证：四边形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE 是平行四边形.
课堂练行四边形的
判定
平行四边形的判定方法:
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE. 求证：四边形AECF是平行四边形．
1.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵点E，F分别在BC，AD上，
∴AF∥CE.
又∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．
备选习题
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
又∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EO=GO，FO=HO.
∴四边形EFGH是平行四边形．
备选习题
如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形．
3.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴EF AD，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
备选习题
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