湖南省衡阳县2021-2022学年高一下开学考数学试卷(word含答案解析）

一、单选题本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．命题“ ， ”的否定为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 ，有下面四个不等式：① ，② ，③ ，④ .则不正确的不等式的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．函数 的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．函数 是定义在 上的偶函数，且在 上为减函数，则以下关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则下列选项中错误的是（　　）
A． 的最小正周期为
B．将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的函数
C． 的最大值为
D．将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的函数
9．已知正实数 满足 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（　　）
A．－6 B．6 C．－8 D．8
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11．已知函数 满足 ，则 　 　.
12．已知角 的终边经过点 ,则 的值为　 　
13．已知 ，则 　 　．
14．若实数 ，且 ，则 的最大值为　 　.
15．若函数 恰有两个零点，则实数 的范围是　 　
三、解答题(本大题共5小题，共40分)
16．化简
（1）　 　．
（2）　 　．
17．已知α为第三象限角， ，.
（1）化简f(α)；
（2）若 ，求f(α)的值.
18．已知 为二次函数，且满足 ， ．
（1）求函数 的解析式，并求 图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出 的图象；
19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价 (单位：元/ )与上市时间 (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本 (单位：元/ )与上市时间 (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ，图2表示的种植成本与时间的函数关系式 ；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
20．已知函数 定义在 上且满足下列两个条件：
①对任意 都有 ；②当 时，有 ．
（1）证明函数 在 上是奇函数．
（2）判断并证明 的单调性．
（3）若 ，试求函数 的零点．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，
，
故答案为：A
【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。
2．【答案】C
【考点】命题的否定
【解析】【解答】特称命题的否定为全称命题，由题意得原命题的否定为： ， .
故答案为：C.
【分析】特称命题的否定为全称命题，据此得到答案.
3．【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时， ，充分性成立；反过来，当 时，则 ，不一定有 ，
故必要性不成立，所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故答案为：A
【分析】利用定义法判断即可.
4．【答案】C
【考点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】由 得 ，故 ， ，故①④不正确；
，故③正确；
， 均大于0且不等于1，由基本不等式可知 ，故②正确.
故答案为：C.
【分析】由 得 ，再根据不等式的性质和基本不等式，逐一判断，即可求出结果.
5．【答案】D
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，可得 ，
由 且 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由已知条件利用诱导公式可得，再利用同角三角函数基本关系式可求出，进而求出答案 。
6．【答案】D
【考点】函数的图象
【解析】【解答】依题意 ，所以函数 的图象为D中的图象，
故答案为：D.
【分析】依题意 ，结合分段函数的性质逐项进行判断，可得答案。
7．【答案】B
【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
又因为 在 为减函数， ，
所以 ，即 ，
故答案为：B
【分析】根据题意由偶函数的定义得出，再由函数的单调性得到从而得到答案。
8．【答案】B
【考点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由题意，函数 ，
可得函数的最小正周期为 ，所以A正确，不符合题意；
将函数 的图像向左平移 个单位，
可得 的图象，所以B错误，符合题意；
当 时，即 时，函数 取得最大值 ，
所以C正确，不符合题意；
将函数 的图像向左平移 个单位，
可得 的图象，所以D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据正弦型函数的图像与性质，逐项进行判断，即可得出答案。
9．【答案】D
【考点】幂函数的性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理已知的代数式结合不等式的性质以及幂函数的单调性即可判断出结果。
10．【答案】C
【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令 得 ，故 周期为8，即 ，即 ，函数对称轴为 ，画出大致图象，如图：
由图可知，两个根关于 对称，两个根关于 对称，设 ，
则 ，故 ，
故答案为：C
【分析】由条件“f(x-4)=-f(x)”得f(x+8)=f(x) ,说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0, 2]上为增函数，由此画出示意图，数形结合可得答案.
11．【答案】1
【考点】函数的值
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故答案为：1
【分析】根据题意由已知条件代入数值计算出结果即可。
12．【答案】
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】角 的终边经过点 ,
则 .
故答案为： .
【分析】运用任意角的三角函数的定义，求出x,y,r，再由，即可得到。
13．【答案】
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，由三角函数的诱导公式和基本关系式，可得
.
故答案为： .
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值.
14．【答案】4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，得到 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的最大值为4.
故答案为：4
【分析】根据题意整理化简原式得到由基本不等式即可求出进而得到由整体思想结合一元二次不等式的解法即可求出由此得到ab的最大值。
15．【答案】
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：设 ，
若在 时， 与 轴有一个交点，
所以 ，并且当 时， ，所以 ，
而函数 有一个交点，所以 ，且 ，
所以 ，
若函数 在 时，与 轴没有交点，
则函数 有两个交点，
当 时， 与 轴无交点， 无交点，所以不满足题意（舍去），
当 时，即 时， 的两个交点满足 ，都是满足题意的，
综上所述 的取值范围是 ，或 .
故答案为： .
【分析】分别设 ，分两种情况讨论，即可求出a的范围.
16．【答案】（1）2
（2）
【考点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质
【解析】【解答】（1）
(2)
故答案为：（1） 2 （2）
【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）利用对数的运算性质进行计算即可。
17．【答案】（1）解： ．
（2）解：∵ ，∴－sinα＝ ，从而sinα＝－ .
又∵α为第三象限角，∴cosα＝－ ，
∴f(α)＝－cosα＝ .
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】(1)由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果；
(2)由条件利用诱导公式求得cosa的值，可得 f(α)＝－cosα值.
18．【答案】（1）解；设函数的解析式为
因为 ，可得 ，
解得 ，所以 ，
令 ，可得 ，即图象的顶点坐标为 ．
（2）解：由（1）知 ，令 ，即 ，
解得 或 ，
可函数 的图象如图所示：
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【分析】(1)设函数的解析式为 ，由题意可知f (x)的对称轴为x=1，再结合f(2)=-3, f(3)=0,列出方程组，解出a,b, c的值即可得到函数f (x)的解析式，再求出顶点坐标；
(2)先画出函数f (x)的图象，再把x轴下方的翻折到x轴上方即可得到y=|f (x)|的图象.
19．【答案】（1）解：由图1可得，当 时， ；
当 时， ，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ；
由图2，设对应的二次函数解析式为 ，
又该函数过点 ，所以 ，解得 ，
则 ， ；
（2）解：设上市时间为 时的纯收益为 ，
则由题意，得 ，
即 ，
当 时， ，
当 时， 取得最大值 ；
当 时， ，
当 时， 取得最大值 .
综上，当 ，即从2月1日开始的第 天上市的西红柿的纯收益最大.
【考点】二次函数在闭区间上的最值；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)分0< t≤200和200 (2)设纯收益为 ,则 ，然后分020．【答案】（1）解：由题意，函数 定义域为 ，关于原点对称，
又由对任意 都有 ，
令 ，可得 ，解得 ，
再令 ，可得 ，即 ，
所以函数 在 上是奇函数．
（2）解：设 ，
则 ，
因为 ，由条件知 ，而 ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递增.
（3）解：由（1）知函数为奇函数，因为 ，则 ，
因为你 ，即 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，即 的零点为 ．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断
【解析】【分析】(1)赋值 ，可得f(0)=0，然后令y=-x可得函数为奇函数；
(2)用定义法证明函数的单调性，做差构造条件式子 ， 就可以证明其单调性；
(3)先通分变形为 ，将，然后用条件②化简，利用函数单调性去掉函数符号，求出不等式的解