江苏省南通市如皋市2021-2022学年度高二年级第二学期 期初调研 数学（PDF版无答案）

如皋市 2021-2022学年度高二年级第二学期期初调研测试
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称
之为“三角垛”.其最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，…，则第
十层球的个数为（ ▲ ）.
A. 45 B. 55 C. 90 D. 110
2. 2“椭圆 的离心率为 ”是“m 6 ”的（ ▲ ）.
2
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在等比数列 an 中， a2 2， ， Sn是 an 的前 n项和，则 S5 （ ▲ ）.
A. 15 B. 31 C. 48 D. 63
4. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下
半部分为同底圆柱，其中总高度为 ，圆柱部分高度为 ，已知该陀螺由密度
为 的木质材料做成，其总质量为 ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ▲ ）
A. B. C. D.
5. 圆 C： 上的动点 P到直线 l： 的距离的最大值是（ ▲ ）.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵 ABC A1B1C1中，
若 AC BC 1， AA1 2，点 P为线段 BA1的中点，则点 P到平面 A1B1C的距离为（ ▲ ）.
2 1
A. 3 B. 1 C. D.
3 3
7. 若 ，则 a2 （ ▲ ）.
A.22 B. 19 C. 20 D. 19
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x2 y2
8. 过双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点 F作直线 l，且直线 l与双曲线 C的一条渐近线垂直，a b
垂足为 A，直线 l与另一条渐近线交于点 B.已知 O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为
，则双曲线 C的离心率为（ ▲ ）.
2 3 3 1 4 3 2 3A. B. C. 或 4 D. 或 2
3 3 3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有项选错得 0分.
9. 已知 Sn为等差数列 an 的前 n项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ▲ ）.
A.
B. an 是先递减后递增的数列
C. a12是 a8和 的等比中项
D. Sn的最小值为 49
10. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ▲ ）.
A.若 A、B两人站在一起有 48种方法
B. 若 A、B不相邻共有 12种方法
C. 若 A在 B左边有 60种排法
D. 若 A不站在最左边，B不站最右边，有 72种方法
11. 如图所示，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P， Q分别为棱 AB， BC的中点，则以下
四个结论正确的是（ ▲ ）.
A. 棱C1D1上存在一点 M，使得 AM / /平面
2
B. 直线 A1C1到平面 的距离为 3
A 9C. 过 1C1且与面 平行的平面截正方体所得截面面积为 8
3
D. 过 PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
8
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12. 2已知抛物线 C： y 2px(p 0)与圆 O x2 y2： 5交于 A， B两点，且 AB 4，直线 l过 C
的焦点 F，且与 C交于 M， N两点，则下列说法中正确的是（ ▲ ）.
3
A. 若直线 l的斜率为 ，则 MN 8
3
B. 的最小值为3 2 2
3
C. 若以 MF为直径的圆与 y轴的公共点为 ，则点 M的横坐标为
2
D. 若点 ，则 周长的最小值为 4 5
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上.
13. 将 5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰 短道速滑 高山滑雪 3个项目进行培训，每名志愿者只
分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲 乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种
不同的分配方式 ▲ .
x2 y2
14. 过双曲线 2 2 1(a 0,b 0)
b
的右焦点 F作渐近线 y x的垂线，垂足为 M，与双曲线的左、
a b a
右两支分别交于 A,B两点，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ .
15. 数列 an 满足 ，若 a1 4，则前 12项的和 ▲ .
16. 过直线 x y 9 0上一点 P作圆 的切线 PA、 PB，切点为 A,B，则直线 AB过定
点 ▲ ，若 AB的中点为 D，则点 D的轨迹方程为 ▲ .
（本小题第一空 2分，第二空 3分）
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17. （本小题满分 10分）
已知数列 an 满足 a1 1，
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）求数列 S
的前 n项和.
n
18. （本小题满分 12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中， PC 底面 ABCD，且 ABCD是直角梯形， ，
，点 E是 PB的中点.
（1）证明：直线 BC 平面 PAC；
3
（2）者直线 PB与平面 PAC所成角的正弦值为 ，求三棱锥P ACE的体积.
3
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19. （本小题满分 12分）
已知数列 an 满足 a1 4，
（1）求 的值；
（2）记 ，证明：数列{bn}为等比数列．
20. （本小题满分 12分）
已知抛物线C : y2 2px(p 0)过点 ，其焦点为 F，且 MF 2.
（1）求抛物线 C的方程；
（2）设 E为 y轴上异于原点的任意一点，过点 E作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C和圆
相切，切点分别为 A,B，求证： 三点共线．
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21. （本小题满分 12分）
在四棱锥 P ABCD中， AB //CD， ， DAB 60 ， AE BE，
△PAD为正三角形，且平面 PAD 平面 ABCD.
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 PB上是否存在一点M (不含端点 )，使得异面直线 DM和
6
PE所成的角的余弦值为 ？ 若存在，指出点 M的位置；若不
4
存在，请说明理由.
22. （本小题满分 12分）
x2 y2
如图，已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左，右焦点分别为 F ，F；A，B分别是椭圆 C的左，右a b
顶点，短轴长为 2 3，长轴长是焦距的 2倍，过右焦点 F且斜率为 k(k 0)的直线 l与椭圆 C相交
于 M，N两点．
（1）若 k 1时，记△AFM ，△BFN 的面积分别为 S1， S2，求 的值；
（2）记直线 AM，BN的斜率分别为 k1，k2，是否存在常数 使 k2 k1成立，若存在，求出 的值，
若不存在，请说明理由．
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