2021-2022学年人教版九年级下 28.2解直角三角形及其应用同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级下 28.2解直角三角形及其应用同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-20 10:52:26 | ||
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文档简介
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人教版九年级下 28.2解直角三角形及其应用同步练习
一．选择题
1．（2021秋 泗水县期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋 市北区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
3．（2021秋 嘉定区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．（2021秋 拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋 海口期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（ ）
A．12m B．18m C．6 D．12
6．（2021秋 青岛期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋 海口期末）如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2021秋 河东区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（2020 肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
二．填空题
11．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 ．
12．（2021秋 杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．
13．（2021秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，如果cosB＝，AB＝7，那么CD的长等于 ．
14．（2021秋 邵东市期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向（点A、B、C在同一平面），则这段河的宽度为 米（结果保留根号）
15．（2021秋 潜山市期末）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．
（1）BD：BC＝ ；
（2）若AB＝4，则△ABC的面积是 ．
16．（2021秋 海陵区期末）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于 ．
三．解答题
17．（2021秋 溧阳市期末）（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
18．（2021秋 青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
19．（2021秋 兴宁市期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
20．（2021秋 房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
21．（2021秋 永定区期末）如图，一艘船正以海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
22．（2021秋 龙口市期末）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
23．（2021秋 西湖区校级月考）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 泗水县期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴cosB＝，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，cosB＝，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cos∠BCD＝，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，cosB＝，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2021秋 市北区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，
∴AB＝＝，
∴Rt△ABC的斜边长应为：，
故选：B．
3．（2021秋 嘉定区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴BD＝ABcosB＝10×＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝8，
故选：B．
4．（2021秋 拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝＝5，
在Rt△OAP中，sinα＝＝，
故选：B．
5．（2021秋 海口期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（ ）
A．12m B．18m C．6 D．12
【解析】解：∵迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，
∴
即
解得AC＝6，
∴AB＝＝m，
故选：A．
6．（2021秋 青岛期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：连接CD，
由图可得：CD⊥AB，
由题意得：CD＝＝，
AC＝＝2，
在Rt△ACD中，sin∠BAC＝＝＝，
故选：D．
7．（2021秋 海口期末）如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解析】解：连接AC，
由题意得：
AB2＝32+12＝10，
AC2＝12+32＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴cos∠ABC＝，
故选：B．
8．（2021秋 河东区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°，
在Rt△CAD中，CD＝ACsin60°＝1×＝，
AD＝ACcos60°＝1×＝，
∵AB＝2，
∴BD＝AB+AD＝2+＝，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：D．
9．（2021秋 湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝，
∴，
∴BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴5CE＝12，
∴CE＝，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝，
∵CE⊥BD，
∴BD＝2BE＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣＝，
故选：B．
10．（2020 肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
【解析】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝10（m），
∴AB＝BC sin60°＝10×＝15（m）．
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 ．
【解析】解：∵CD＝6，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴AD＝4，
∵AB＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8，
由勾股定理可得BC＝＝＝10，
∴sinB＝＝＝，
故答案为：．
12．（2021秋 杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 6 海里．
【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
13．（2021秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，如果cosB＝，AB＝7，那么CD的长等于 ．
【解析】解：在△ABC中，∠A＝90°，cosB＝，AB＝7，
∴BC＝AB÷cosB＝7＝8，
∵斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，
∴BE＝BC＝4，
∴CD＝BD＝BE÷cosB＝4＝，
故答案为：．
14．（2021秋 邵东市期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向（点A、B、C在同一平面），则这段河的宽度为 米（结果保留根号）
【解析】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝30（+1），
答：这段河的宽约为30（+1）米．
故答案为：30（+1）．
15．（2021秋 潜山市期末）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．
（1）BD：BC＝ 2：7 ；
（2）若AB＝4，则△ABC的面积是 2 ．
【解析】解：（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴设CE为a，则BC为2a，
∵BD⊥AB，CE⊥AB，
∴∠ABD＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝a，
∴＝＝，
故答案为：2：7；
（2）由（1）得：△ABD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝7，
∴BE＝AE﹣AB＝7﹣4＝3，
在Rt△BEC中，CE＝BEtan30°＝3×＝，
∴△ABC的面积＝AB CE＝×4×＝2，
故答案为：2．
16．（2021秋 海陵区期末）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于 ．
【解析】解：如图：设AB与CD相交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵AB∥CF，
∴∠AEC＝∠DCF，
由勾股定理得：
DC2＝12+32＝10，
DF2＝12+22＝5，
CF2＝12+22＝5，
∴DF2+CF2＝DC2，且CF＝DF，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°，
∴α＝45°，
∴cosα＝，
故答案为：．
三．解答题
17．（2021秋 溧阳市期末）（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，
∴AB＝＝＝，
∴AC＝ABcos60°＝×＝，
答：，；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a＝2，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴，∠A＝30°，∠B＝60°．
18．（2021秋 青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
【解析】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB＝AD，
∴BH＝HD＝BD＝2．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝4．
∴HC＝HD+CD＝6．
∵＝，
∴．
∵
＝
＝．
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵，
∴．
∴．
∴点C到直线AB的距离为．
19．（2021秋 兴宁市期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
【解析】解：由题意可知，AB＝30，∠C＝90°，∠A＝30°，∠DBC＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝180°﹣90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，
∴BC＝CD．
设CD＝x米，则BC＝x米，AC＝（30+x）米，
在Rt△ACD中，
tan30°＝．
解得x＝15+15，
答：古塔CD的高度为（15+15）米．
20．（2021秋 房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
【解析】解：如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB sin45°＝4×＝4．
如图2中，AC＝＝＝，
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°，
∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
∴△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，AF＝PF，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AF＝2，
∴AP＝AF＝2．
21．（2021秋 永定区期末）如图，一艘船正以海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
【解析】解：（1）作CD⊥AB交AB于点D，
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB＝×＝，
在Rt△CBD中，CD＝CB×sin∠CBD＝×＝16，
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，
∴这艘船继续向东航行会有进入危险区的可能．
22．（2021秋 龙口市期末）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【解析】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
23．（2021秋 西湖区校级月考）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
【解析】解：（1）由示意图可知：∠ACB＝60°，
由平行线的性质可知∠ABC＝180°﹣30°﹣60°﹣15°＝75°，
则∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝45°，BC＝80×＝40（海里），
过B作BD⊥AC于点D，
则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝20（海里），
由勾股定理得：BD＝＝20（海里），
∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（20+20）（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AC为（20+20）海里；
（2）如图，由（1）知，CD＝20海里，BD＝＝20海里，AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（20+20）海里，
∵＝，
∴＝，
∴sin75°＝．
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人教版九年级下 28.2解直角三角形及其应用同步练习
一．选择题
1．（2021秋 泗水县期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋 市北区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
3．（2021秋 嘉定区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．（2021秋 拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋 海口期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（ ）
A．12m B．18m C．6 D．12
6．（2021秋 青岛期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋 海口期末）如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2021秋 河东区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（2020 肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
二．填空题
11．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 ．
12．（2021秋 杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．
13．（2021秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，如果cosB＝，AB＝7，那么CD的长等于 ．
14．（2021秋 邵东市期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向（点A、B、C在同一平面），则这段河的宽度为 米（结果保留根号）
15．（2021秋 潜山市期末）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．
（1）BD：BC＝ ；
（2）若AB＝4，则△ABC的面积是 ．
16．（2021秋 海陵区期末）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于 ．
三．解答题
17．（2021秋 溧阳市期末）（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
18．（2021秋 青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
19．（2021秋 兴宁市期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
20．（2021秋 房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
21．（2021秋 永定区期末）如图，一艘船正以海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
22．（2021秋 龙口市期末）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
23．（2021秋 西湖区校级月考）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 泗水县期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴cosB＝，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，cosB＝，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cos∠BCD＝，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，cosB＝，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2021秋 市北区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，
∴AB＝＝，
∴Rt△ABC的斜边长应为：，
故选：B．
3．（2021秋 嘉定区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴BD＝ABcosB＝10×＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝8，
故选：B．
4．（2021秋 拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝＝5，
在Rt△OAP中，sinα＝＝，
故选：B．
5．（2021秋 海口期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（ ）
A．12m B．18m C．6 D．12
【解析】解：∵迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，
∴
即
解得AC＝6，
∴AB＝＝m，
故选：A．
6．（2021秋 青岛期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：连接CD，
由图可得：CD⊥AB，
由题意得：CD＝＝，
AC＝＝2，
在Rt△ACD中，sin∠BAC＝＝＝，
故选：D．
7．（2021秋 海口期末）如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解析】解：连接AC，
由题意得：
AB2＝32+12＝10，
AC2＝12+32＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴cos∠ABC＝，
故选：B．
8．（2021秋 河东区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°，
在Rt△CAD中，CD＝ACsin60°＝1×＝，
AD＝ACcos60°＝1×＝，
∵AB＝2，
∴BD＝AB+AD＝2+＝，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：D．
9．（2021秋 湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA＝，
∴，
∴BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴5CE＝12，
∴CE＝，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝，
∵CE⊥BD，
∴BD＝2BE＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣＝，
故选：B．
10．（2020 肥城市四模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
【解析】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝10（m），
∴AB＝BC sin60°＝10×＝15（m）．
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 ．
【解析】解：∵CD＝6，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴AD＝4，
∵AB＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8，
由勾股定理可得BC＝＝＝10，
∴sinB＝＝＝，
故答案为：．
12．（2021秋 杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 6 海里．
【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
13．（2021秋 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，如果cosB＝，AB＝7，那么CD的长等于 ．
【解析】解：在△ABC中，∠A＝90°，cosB＝，AB＝7，
∴BC＝AB÷cosB＝7＝8，
∵斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，
∴BE＝BC＝4，
∴CD＝BD＝BE÷cosB＝4＝，
故答案为：．
14．（2021秋 邵东市期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向（点A、B、C在同一平面），则这段河的宽度为 米（结果保留根号）
【解析】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝30（+1），
答：这段河的宽约为30（+1）米．
故答案为：30（+1）．
15．（2021秋 潜山市期末）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．
（1）BD：BC＝ 2：7 ；
（2）若AB＝4，则△ABC的面积是 2 ．
【解析】解：（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴设CE为a，则BC为2a，
∵BD⊥AB，CE⊥AB，
∴∠ABD＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝a，
∴＝＝，
故答案为：2：7；
（2）由（1）得：△ABD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝7，
∴BE＝AE﹣AB＝7﹣4＝3，
在Rt△BEC中，CE＝BEtan30°＝3×＝，
∴△ABC的面积＝AB CE＝×4×＝2，
故答案为：2．
16．（2021秋 海陵区期末）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于 ．
【解析】解：如图：设AB与CD相交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵AB∥CF，
∴∠AEC＝∠DCF，
由勾股定理得：
DC2＝12+32＝10，
DF2＝12+22＝5，
CF2＝12+22＝5，
∴DF2+CF2＝DC2，且CF＝DF，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°，
∴α＝45°，
∴cosα＝，
故答案为：．
三．解答题
17．（2021秋 溧阳市期末）（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，
∴AB＝＝＝，
∴AC＝ABcos60°＝×＝，
答：，；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a＝2，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴，∠A＝30°，∠B＝60°．
18．（2021秋 青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
【解析】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB＝AD，
∴BH＝HD＝BD＝2．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝4．
∴HC＝HD+CD＝6．
∵＝，
∴．
∵
＝
＝．
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵，
∴．
∴．
∴点C到直线AB的距离为．
19．（2021秋 兴宁市期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
【解析】解：由题意可知，AB＝30，∠C＝90°，∠A＝30°，∠DBC＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝180°﹣90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，
∴BC＝CD．
设CD＝x米，则BC＝x米，AC＝（30+x）米，
在Rt△ACD中，
tan30°＝．
解得x＝15+15，
答：古塔CD的高度为（15+15）米．
20．（2021秋 房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
【解析】解：如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB sin45°＝4×＝4．
如图2中，AC＝＝＝，
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°，
∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
∴△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，AF＝PF，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AF＝2，
∴AP＝AF＝2．
21．（2021秋 永定区期末）如图，一艘船正以海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
【解析】解：（1）作CD⊥AB交AB于点D，
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB＝×＝，
在Rt△CBD中，CD＝CB×sin∠CBD＝×＝16，
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，
∴这艘船继续向东航行会有进入危险区的可能．
22．（2021秋 龙口市期末）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【解析】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
23．（2021秋 西湖区校级月考）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
【解析】解：（1）由示意图可知：∠ACB＝60°，
由平行线的性质可知∠ABC＝180°﹣30°﹣60°﹣15°＝75°，
则∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝45°，BC＝80×＝40（海里），
过B作BD⊥AC于点D，
则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝20（海里），
由勾股定理得：BD＝＝20（海里），
∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（20+20）（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AC为（20+20）海里；
（2）如图，由（1）知，CD＝20海里，BD＝＝20海里，AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（20+20）海里，
∵＝，
∴＝，
∴sin75°＝．
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