2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 解答题专题训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 解答题专题训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-21 15:46:34 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tanC＝，BC＝12．
（1）求DC边的长；
（2）求cosB的值．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cos∠ABC＝，BF为△ABC的角平分线，BF交AD于点E．求：
（1）AD的长；
（2）tan∠FBC的值．
3．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
6．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
7．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
8．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝5，BD平分∠ABC．
（1）求BC的长；
（2）求∠CBD的正切值．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
13．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求cos∠C的值和S△ABC．
14．如图△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的中点，DE⊥AB，AD＝2DE．
（1）求sinB的值；
（2）若CD＝，求CE的值．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AC＝6，CD＝．
求（1）∠DAC的度数；
（2）AB，BD的长．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，BC＝13，AD＝12，sinB＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求tan2∠ADE的值．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，已知∠ADC＝45°，DC＝6，sinB＝．
（1）求△ABD的面积．
（2）求sin∠BAD．
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数．
（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．
参考答案
1．解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
在Rt△ADC中，
∵tanC＝＝，AD＝6，
∴CD＝4．
（2）∵BC＝12，CD＝4，
∴BD＝8．
在Rt△ADB中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝
＝
＝．
2．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠ABC＝＝，
∵BD＝8，
∴AB＝10，
∴AD＝＝＝6；
（2）过E作EF⊥AB于F，如图所示：
∵BF为△ABC的角平分线，ED⊥BC，
∴ED＝EF，
在Rt△BHE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BHE≌Rt△BDE（HL），
∴BH＝BD＝8，
∴AH＝AB﹣BE＝2，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠AEH+∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝∠AEH，
∴cos∠AEH＝＝cos∠ABC＝，
设ED＝EH＝4k，则AE＝5k，
则AD＝5k+4k＝6，
解得：k＝，
∴ED＝，
∴tan∠FBC＝tan∠EBD＝＝＝．
3．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，sin∠BAC＝，
∴BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝12，
∵AC＝7.2，
∴CD＝12﹣7.2＝4.8，
∴∠CBD的正切＝＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
由（1）得，AC＝7.2，CD＝4.8，
∵DG∥AF，
∴＝＝，
设CG＝2x，FC＝3x，则FG＝2x+3x＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
4．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴，
∴，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝4k，
∴tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD的值为．
5．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
6．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
7．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
8．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
9．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠A＝＝，
∵AB＝5，
∴BC＝3；
（2）如图，过D点作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
在Rt△BDE与Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝4．
设CD＝x，则DE＝x，AD＝4﹣x．
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
∴CD＝．
在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝．
10．解：（1）∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
11．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
12．解：（1）设AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，BC＝4x，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
∴4x＝2x+4，
解得x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴cot∠BAD＝＝＝，
即cot∠BAD的值是．
13．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝8；
（2）∵∠ADC＝90°，AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝16，
∴cosC＝＝＝，
∴S△ABC＝ BC AD＝×16×8＝64．
14．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
15．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADE＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠B＝∠AED，
设DE＝x，则AD＝2DE＝2x，
∴AE＝＝x，
则sinB＝sin∠AED＝＝＝；
（2）∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝，即AB＝2，
则AC＝ABsinB＝2×＝4，AE＝＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
16．解：（1）∵在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°．
（2）∵∠DAC＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠BAD＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2×6＝12，∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∵∠C＝90°，DC＝2，∠DAC＝30°，
∴BD＝AD＝2DC＝．
17．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝13﹣9＝4；
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC＝2，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴∠DEC＝2∠ADE，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC，
过D作DF⊥AC于F，
∵S△ADC＝ AD CD＝AC DF，
∴DF＝＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴EF＝CE﹣CF＝，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC＝＝＝．
18．解：（1）由题意可知：AC＝DC＝6，
在Rt△ABC中，sinB＝＝＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣6＝2，
∴S△ABD＝＝＝6；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵S△ABD＝＝＝6，
∴DE＝，
在Rt△ACD中，AC＝DC＝6，
∴AD＝＝＝6，
在Rt△AED中，sin∠BAD＝sin∠EAD＝＝＝．
19．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
20．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，
∴＝tanB＝＝，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，AD＝5，
则cos∠ADC＝＝．
21．解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB＝．
∴＝，
又∵AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝＝9，
又∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC＝BC AD＝AB CE
∴×4×12＝×15×CE，
∴CE＝，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC＝＝＝，
答：sin∠BAC的值为．
22．解：（1）连接AD．
∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵BD＝2AC，
∴AD＝2AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠B＝15°．
（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD＝a，BC＝2a+a，
∴tan∠BAC＝＝＝2+．
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tanC＝，BC＝12．
（1）求DC边的长；
（2）求cosB的值．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cos∠ABC＝，BF为△ABC的角平分线，BF交AD于点E．求：
（1）AD的长；
（2）tan∠FBC的值．
3．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
6．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
7．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
8．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝5，BD平分∠ABC．
（1）求BC的长；
（2）求∠CBD的正切值．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
13．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求cos∠C的值和S△ABC．
14．如图△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的中点，DE⊥AB，AD＝2DE．
（1）求sinB的值；
（2）若CD＝，求CE的值．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AC＝6，CD＝．
求（1）∠DAC的度数；
（2）AB，BD的长．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，BC＝13，AD＝12，sinB＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求tan2∠ADE的值．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，已知∠ADC＝45°，DC＝6，sinB＝．
（1）求△ABD的面积．
（2）求sin∠BAD．
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数．
（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．
参考答案
1．解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
在Rt△ADC中，
∵tanC＝＝，AD＝6，
∴CD＝4．
（2）∵BC＝12，CD＝4，
∴BD＝8．
在Rt△ADB中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝
＝
＝．
2．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠ABC＝＝，
∵BD＝8，
∴AB＝10，
∴AD＝＝＝6；
（2）过E作EF⊥AB于F，如图所示：
∵BF为△ABC的角平分线，ED⊥BC，
∴ED＝EF，
在Rt△BHE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BHE≌Rt△BDE（HL），
∴BH＝BD＝8，
∴AH＝AB﹣BE＝2，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠AEH+∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝∠AEH，
∴cos∠AEH＝＝cos∠ABC＝，
设ED＝EH＝4k，则AE＝5k，
则AD＝5k+4k＝6，
解得：k＝，
∴ED＝，
∴tan∠FBC＝tan∠EBD＝＝＝．
3．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，sin∠BAC＝，
∴BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝12，
∵AC＝7.2，
∴CD＝12﹣7.2＝4.8，
∴∠CBD的正切＝＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
由（1）得，AC＝7.2，CD＝4.8，
∵DG∥AF，
∴＝＝，
设CG＝2x，FC＝3x，则FG＝2x+3x＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
4．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴，
∴，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝4k，
∴tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD的值为．
5．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
6．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
7．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
8．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
9．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠A＝＝，
∵AB＝5，
∴BC＝3；
（2）如图，过D点作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
在Rt△BDE与Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝4．
设CD＝x，则DE＝x，AD＝4﹣x．
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
∴CD＝．
在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝．
10．解：（1）∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
11．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
12．解：（1）设AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，BC＝4x，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
∴4x＝2x+4，
解得x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴cot∠BAD＝＝＝，
即cot∠BAD的值是．
13．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝8；
（2）∵∠ADC＝90°，AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝16，
∴cosC＝＝＝，
∴S△ABC＝ BC AD＝×16×8＝64．
14．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
15．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADE＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠B＝∠AED，
设DE＝x，则AD＝2DE＝2x，
∴AE＝＝x，
则sinB＝sin∠AED＝＝＝；
（2）∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝，即AB＝2，
则AC＝ABsinB＝2×＝4，AE＝＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
16．解：（1）∵在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°．
（2）∵∠DAC＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠BAD＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2×6＝12，∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∵∠C＝90°，DC＝2，∠DAC＝30°，
∴BD＝AD＝2DC＝．
17．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝13﹣9＝4；
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC＝2，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴∠DEC＝2∠ADE，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC，
过D作DF⊥AC于F，
∵S△ADC＝ AD CD＝AC DF，
∴DF＝＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴EF＝CE﹣CF＝，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC＝＝＝．
18．解：（1）由题意可知：AC＝DC＝6，
在Rt△ABC中，sinB＝＝＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣6＝2，
∴S△ABD＝＝＝6；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵S△ABD＝＝＝6，
∴DE＝，
在Rt△ACD中，AC＝DC＝6，
∴AD＝＝＝6，
在Rt△AED中，sin∠BAD＝sin∠EAD＝＝＝．
19．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
20．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，
∴＝tanB＝＝，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，AD＝5，
则cos∠ADC＝＝．
21．解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB＝．
∴＝，
又∵AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝＝9，
又∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC＝BC AD＝AB CE
∴×4×12＝×15×CE，
∴CE＝，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC＝＝＝，
答：sin∠BAC的值为．
22．解：（1）连接AD．
∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵BD＝2AC，
∴AD＝2AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠B＝15°．
（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD＝a，BC＝2a+a，
∴tan∠BAC＝＝＝2+．