北师大版数学八下1.4 角平分线 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
课题：角平分线（1）
1、什么是角平分线的定义？
　一、激活思维
A
O
B
P
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线.
2、角平分线的性质是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等
你是怎样得到的？
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
点与点—两点之间的距离
探究一：
点与线—垂线段
注意：
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知：
求证：
　条　件
　结论
OC是∠AOB的平分线，
试着证明一下吧
PD＝PE
探究一：
PD丄OA于D, PE丄OB于E
点P在OC上，
证明：
∵　 OC是∠AOB的角平分线　
∴ 　∠1= ∠2　
∵ PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
　　　　∴ PD=PE（ 全等三角形对应边相等）
∴∠PDO= ∠PEO＝ 90°
在△OPD和△OPE中
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
已知：
求证：
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA于D, PE丄OB于E
PD＝PE
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线性质定理
小结：
　∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
　∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
几何语言
1、判断题
(1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ( )
小试牛刀
(2)∵ DC⊥AC于C，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( )
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( )
×
×
√
不必再证全等
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理
你能写出这个定理的逆命题？
逆命题： 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
　条　件
　结论
探究二：
一个角的内部，
真命题 ？
假命题 ？
角平分线性质定理的逆命题
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
试着证明一下吧
已知：
求证：
OＰ平分∠AOB
点P为∠AOB内一点
为D、E ， PD＝PE.
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别
　条　件
　结论
∴∠PDO= ∠PEO＝ 90°
在△PDO和△PEO中
∴ △OPD≌△OPE (ＨＬ)
证明：∵　PD⊥OA ,　 PE⊥OB
∴ ∠1= ∠2（全等三角形对应边相等）
∴ OP平分∠AOB
已知：
求证：
OＰ平分∠AOB
点P为∠AOB内一点
为D、E
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别
PD＝PE.
角平分线性质判定定理
小结：
几何语言
PD=PE , PD丄OA于D, PE丄OB于E
∴OP 平分∠AOB
∵点P为∠AOB内一点,
在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
∴
　
１.在△ABC 中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE=DF，求DE 的长.
三、知识运用
方法一：
证明：
∵DE丄AB, DF丄AC
∴∠DEA= ∠DFA=90°
≌
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝1
∴DE＝　AD　＝ 　×10＝5 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半).
（HL)
　
１.在△ABC 中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE=DF，求DE 的长.
三、知识运用
方法二：
证明：
∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）.
∵∠BAC＝60°
∴∠BAD＝ ∠BAC =30°
在 Rt△ADE中，∠EAD＝30°
∴DE＝　 AD　＝ 　×10＝5 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半).
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，
交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
四、课堂检测(10min)
2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
O
A
B
C
D
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，
交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
证明：
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∴ ∠EBD= ∠ A= 30°
∵∠C＝90°,∠A=30°
∴∠ABC＝60°
∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°
∴∠CBE∠EBD
∴BE平分∠ABC
2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
∴点P即为所求
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等
的点在这个角的平分线上
定理
定理
角平分线性质定理
四、课堂小结
感谢观看！
课题：角平分线（1）