浙江省杭州市2021学年第二学期高二年级开学测试
数学学科参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，不选、错选、多选均不得分）
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A B D A C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题目 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
18．（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）m＝－1；（Ⅱ）y＝－x＋1
【详解】（Ⅰ）曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1，3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1，3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1
（Ⅱ）因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)
则直线PQ的方程为y＝－x＋b. 将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，
Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得.
x1＋x2＝b－4，，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，
因为＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
19．（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）an＝n；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）由题意得，当n＝1时，2a12＝a12＋a1，又an＞0，∴a1＝1，
当n≥2时，由2Sn＝an2＋an得2Sn－1＝an－12＋an－1
两式相减得2an＝an2－an－12＋an－an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又an＞0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
20．（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）方程为y2＝x，抛物线C的焦点坐标为，准线方程为；（Ⅱ）详见解析
【详解】（Ⅰ）由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得
所以抛物线C的方程为y2＝x，其焦点坐标为，准线方程为；
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由，得．
则，．
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，y1)．
直线ON的方程为，点B的坐标为．
所以．
故A为线段BM的中点．
21．（本题满分12分）
【分析】
（Ⅰ）在梯形ABCD中，通过计算得出AC⊥BC，由勾股定理逆定理得CB⊥CF，从而证线面平行；
（Ⅱ）以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角。
【详解】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，
∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，
∴AC⊥BC
又∵矩形ACFE中，CF＝AE＝2，
又有BF＝，CB＝2，
∴CB⊥CF
又∵AC∩CF＝C
∴BC⊥平面ACFE
（Ⅱ）以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系：
，，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，
所以 即
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴n＝(0，1，1)
故直线BD与平面BEF所成角的正弦值是．
22．（本题满分12分）
【详解】（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由题意，解得a2＝4，b2＝2．
所以，椭圆C的方程为．故点P(1，)
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为．
由 得，．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则，同理可得．
所以直线AB的斜率为定值．
（Ⅲ）设AB的直线方程为，
由椭圆的方程可得点P(1，)，根据点到直线的距离公式可得
因为m2＝4使判别式大于零，所以当且仅当m＝±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为．浙江省杭州市2021学年第二学期高二年级开学测试
数学学科试卷
考生须知：
1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，不选、错选、多选均不得分）
1．直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(2，－1) D．(2，1)
2．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列{an}(an∈R)中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为（ ）
A．9 B．1 C．2 D．3
4．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），M是棱CC1的中点．若，则点P在侧面
ADD1A1上运动路径的长度是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l的倾斜角一定大于30°
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10．已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则有（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0
B．公共弦AB的长为
C．圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个
D．P为圆O上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，，则下列说法中正确的有（ ）
A．a4＝2 B．{an}是周期数列 C．a2022＝2 D．S18＝21
12．知圆O的半径为1，点A是圆O所在平面上的任意一点，点B是圆O上的任意一点，线段AB的垂直平分线交半径OB所在的直线于点P．当点B在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点A与点O重合时，动点P的轨迹是一个圆
B．当点A在圆内且不同于点O时，动点P的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e随着的增大而增大
C．当点A在圆上且不同于点B时，动点P的轨迹不存在
D．当点A在圆外时，动点P的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e随着的增大而增大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知双曲线(a＞0，b＜0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
14．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则＝ ．
15．在数列{an}中，Sn为它前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则Sn＝ ．
16．如图，在四棱台中，，
，则(x, y∈R)的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，
P是线段MN的中点．设，，．
（Ⅰ）用，，表示向量；
（Ⅱ）若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
①；②，；
③，）则可求出的值；并求出的大小．
18．（本题满分12分）设点O为坐标原点，曲线上有两点P，Q满足关于直线对称，又满足．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求直线PQ的方程．
19．（本题满分12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2a1Sn＝an2＋an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（本题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．
21．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝，四边形ACFE是矩形，且AE＝2，．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．
22．（本题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．
