6.2 向心力的分析和向心力公式的应用
【学习目标】
1．理解向心力的概念。
2．知道向心力与哪些因素有关，理解公式的确切含义并能用来计算。
3．能够应用向心力公式求解圆周运动的问题。
【学习重点】
1．理解向心力的概念。
2．理解牛顿第二定律在圆周运动上的应用，会确定轨道平面、圆心及向心力。
【学习难点】
向心力的确定和运用向心力的知识解释有关现象。
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫作向心力。
2．方向：始终沿着半径指向圆心，方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
3．表达式
(1)Fn＝(2)Fn＝
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
4.效果力：
（1）向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
（2）由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
（3）向心力的来源：物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
二、
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动的合力产生两个方向的效果。
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度描述速度方向改变的快慢。
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。
3.匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。
4.匀速圆周运动问题的解题模型
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据力的性质命名的．( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心．( × )
2．一辆质量为1 000 kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r＝50 m的圆，以10 m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.
答案 侧向摩擦力 2 000
知识点一、向心力的来源分析和计算
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝m2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力；在非匀速圆周运动中，由沿半径方向的合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【经典例题1】如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
【变式训练1】在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
知识点二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果．
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解．
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
【经典例题1】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
【变式训练1】如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是( )
答案 B
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐增大，故合力F的方向沿切线方向的分力与速度方向相同，B正确，C错误．
一、单项选择题
1.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.杂技表演中的水流星，能使水碗中的水在竖直平面内做半径为 r 的圆周运动。欲使水碗运动到最高点处而水不流出，碗的线速度 v 或周期 T 应满足的条件是（重力加速度为g）（ ）
A. v0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
详解】欲使水碗运动到最高点处而水不流出，则满足
其中
解得
，
故B正确，ACD错误。
故选B。
2.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）7.如图所示，一圆筒绕中心轴OO′以角速度ω匀速转动，小物块紧贴在竖直圆筒的内壁上，相对于圆筒静止。此时，小物块受圆筒壁的弹力大小为F，摩擦力大小为f。当圆筒以角速度2ω匀速转动时（小物块相对于圆筒静止），小物块受圆筒壁的（ ）
A. 摩擦力大小变为4f
B. 摩擦力大小变为2f
C. 弹力大小变为4F
D. 弹力大小变为8F
【答案】C
【解析】
【详解】对小物体研究，做匀速圆周运动，受重力、支持力和向上的静摩擦力，支持力提供向心力，摩擦力与重力平衡。根据牛顿第二定律，有水平方向
FN=mω2r
竖直方向
Ff=mg
当加速度ω加倍后，支持力变为4倍，静摩擦力不变；
A． 摩擦力大小变为4f 与上述分析结论不符，故A错误；
B． 摩擦力大小变为2f 与上述分析结论不符，故B错误；
C． 弹力大小变为4F 与上述分析结论相符，故C正确；
D．弹力大小变为8F 与上述分析结论不符，故D错误；
故选C。
3.（北京市顺义区四中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）10.如图所示，将红、绿两种颜色石子放在水平圆盘上，距圆盘中的距离不同，有d红A. 重力和支持力 B. 重力、支持力和向心力
C. 重力、支持力和指向圆心的摩擦力 D. 重力、支持力和沿切线方向的摩擦力
【答案】C
【解析】
【详解】由于绿石子做匀速圆周运动，需要一个向心力，这个向心力由摩擦力提供，因此绿石子受重力、支持力和指向圆心的摩擦力，沿运动切线方向速度不变，因此不受力，C正确，ABD错误。
故选C。
4.（河北省滦南县第一中学2019-2020学年高一下学期期中物理试题）9.日常生活中可以利用离心运动甩干衣物上的水分，如图已知甩干桶直径为0.5m，工作时转速为r/s，则甩干过程中衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为（g=10m/s2）（ ）
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】衣物转动的角速度
则对衣物受力分析，根据牛顿第二定律
衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为
ACD错误，B正确。
故选B。
5.（河北省唐山市第十一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端O做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A. 只受重力和支持力的作用
B. 只受重力和向心力的作用
C. 只受重力、支持力和拉力的作用
D. 只受重力、支持力、拉力和向心力的作用
【答案】C
【解析】
小球受到重力，桌面的支持力和绳的拉力，竖直方向小球没有位移，重力和支持力平均，绳的拉力提供向心力．故C正确．故选C．
6.（河北省邢台市四校2019-2020学年高一（下）期中联考物理试题）3.在水平面上，小孩拉着雪橇做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 雪橇受到的滑动摩擦力方向始终与圆周运动的切线方向相反
B. 雪橇受到的滑动摩擦力方向始终指向圆心
C. 雪橇受到的拉力方向始终指向圆心
D. 雪橇受到的合力始终不变
【答案】A
【解析】
【详解】AB．雪橇在水平雪地上做匀速圆周运动，速度方向是圆周运动的切线方向，雪橇受到的滑动摩擦力方向与速度方向相反，所以雪橇受到的滑动摩擦力方向始终与圆周运动的切线方向相反，故A正确，B错误；
CD．雪橇做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，又由于向心力始终指向圆心，所以摩擦力和拉力的合力提供向心力且方向指向圆心,，雪橇受到的合力方向时刻发生改变，拉力方向不指向圆心，故CD错误。
故选A。
7.（辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，转台上固定有一长为4L的水平光滑细杆，两个中心有孔的小球A、B从细杆穿过并用原长为L的轻弹簧连接起来，小球A、B的质量分别为3m、2m。竖直转轴处于转台及细杆的中心轴线上，当转台绕转轴匀速转动时（ ）
A. 小球A、B受到的向心力之比为3：2
B. 当轻弹簧长度变为2L时，小球A做圆周运动的半径为1.5L
C. 当轻弹簧长度变为3L时，转台转动的角速度为ω，则弹簧的劲度系数为1.8mω
D. 如果角速度逐渐增大，小球A先接触转台边沿
【答案】C
【解析】
【详解】A．由于弹簧的拉力提供小球做圆周运动的向心力，弹簧对两个小球的拉力相等，因此两个小球的向心力相等，A错误；
B．由于向心力相等，因此
而轻弹簧长度变为2L时
可得
，
当轻弹簧长度变为2L时，小球A做圆周运动的半径为0.8L，B错误；
C．当长度为3L时，即
可得
此时弹簧的弹力提供A球做圆周运动的向心力，则
整理得
C正确；
D．由于B球的轨道半径总比A球的大，因此B球先接触转台边沿，D错误。
故选C。
8.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）7.日常生活中可以利用离心运动甩干衣物上的水分，如图已知甩干桶直径为0.5m，工作时转速为r/s，则甩干过程中衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为（g=10m/s2）（ ）
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】衣物转动的角速度
则对衣物受力分析，根据牛顿第二定律
衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为
ACD错误，B正确。
故选B。
二、多项选择题
9.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）17.应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。关于苹果从最高点c到最右侧点d运动的过程，下列说法中正确的是
A. 苹果先处于超重状态后处于失重状态
B. 手掌对苹果的摩擦力越来越大
C. 手掌对苹果的支持力越来越大
D. 苹果所受的合外力越来越大
【答案】BC
【解析】
【详解】A．苹果做匀速圆周运动，从c到d的过程中，加速度在竖直方向上有向下的加速度，可以知道苹果处于失重状态，故A错误；
B．因为做匀速圆周运动，所以从c到d的过程中，加速度大小不变，加速度在水平方向上的分加速度逐渐增大，根据牛顿第二定律知摩擦力越来越大，故B正确；
C．从c到d的过程中，加速度大小不变，加速度在竖直方向上的加速度逐渐减小，方向向下，则重力和支持力的合力逐渐减小，可以知道支持力越来越大，故C正确；
D．苹果做匀速圆周运动，合力大小不变，方向始终指向圆心，故D错误；
故选BC。
10.（河北省邯郸永年县第二中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（ ）
A. l、ω不变，m越大，线越易被拉断
B. m、ω不变，l越小，线越易被拉断
C. m、l不变，ω越大，线越易被拉断
D. m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
【答案】AC
【解析】
【详解】根据
来进行分析。
A．l、一定，m越大，F越大，则线越容易断，A正确；
B．m、一定，l越大，F越大，线越容易断，选项B错误；
C．m、l一定，越大，F越大，线越容易断，C正确；
D．m一定，l减半，加倍，拉力变为原来2倍，D错误。
故选AC。
【点睛】解决本题关键知道向心力的来源，知道向心力与线速度、角速度的关系，结合牛顿第二定律进行求解。
11.（山东省青岛市第十七中学2019-2020高一（下）期中考试物理试题）12.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. a绳的张力不可能为零
B. a绳的张力随角速度的增大而增大
C. 当角速度，b绳将出现弹力
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】AC
【解析】
【详解】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有：，解得，可知当角速度时，b绳出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．
12.（河北省石家庄精英中学2019-2020学年高一下学期第一次调研考试物理试题）24.如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α＞β。则（ ）
A. 当B的摩擦力为零时，角速度为ωB＝
B. 若A不受摩擦力，则整体转动的角速度为：ωA＝
C. A、B受到的摩擦力可能同时为零
D. 若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
【答案】ABD
【解析】
【详解】A．当B摩擦力恰为零时，物块与圆心连线与竖直方向的夹角为β，受力如上图所示，根据牛顿第二定律得
mgtanβ=mrωB2
r=Rsinβ
解得
选项A正确；
B．同理可球，若A不受摩擦力，则整体转动的角速度为
ωA＝
选项B正确；
C．由AB选项分析可知，ωA和ωB不可能相等，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零，选项C错误；
D．若ω缓慢增大，则A、B受到的摩擦力方向会发生变化，当所受的摩擦力都沿切线向上时，随ω增加，摩擦力会都增大，选项D正确。
故选ABD。
三、计算题
13.（山东省济宁市第二中学2019-2020学年高一下学期第一次线上检测（实验班）物理试题）16.如图所示，装置BOO′可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球与两细线AB、AC连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量为m，细线AC长为l，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。求：
(1)当装置处于静止状态时，细线AB的拉力和AC的拉力的大小；
(2)当细线AB拉力大小等于小球重力的一半时，该装置绕OO′轴转动的角速度的大小；
(3)当细线AB的拉力为零时，该装置绕OO′轴转动的角速度的最小值。
【答案】(1)0.75mg 1.25mg；(2)；(3)
【解析】
【详解】(1)对小球进行受力分析如图，由平衡条件得
TAB＝mgtan37°＝0.75mg
TAC＝＝1.25mg
(2)根据牛顿第二定律得
其中
＝mg
解得
(3)由题意，当 最小时，绳AC与竖直方向的夹角仍为37°，对小球受力分析，则有
解得
14.（湖南长沙明德中学2019-2020学年高一下学期第五次阶段测试物理试题）19.如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为37°与53°，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，问：当角速度为4rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
【答案】0N 2.4 N
【解析】
【分析】当AC绳拉直但没有力时，BC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出此时的角速度，当BC绳拉直但没有力时，AC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出角速度，当角速度处于两者之间时，两绳均张紧；角速度为4rad/s时，AC绳松弛，BC绳张紧，根据牛顿第二定律列式求解；
解：因为L = 2m，所以下面的绳长为
当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧．当ω逐渐增大到37°
BC才被拉直 ，但BC绳中的张力仍然为零．设这时的角速度为ω1，则有：
将已知条件代入上式解得
当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大 ．设角速度达到ω2时，TAC＝0 ，则有：
解得
因，所以AC绳松弛，BC绳张紧，此时两绳只有TBC存在
解得
15.（河北省石家庄精英中学2019-2020学年高一下学期第一次调研考试物理试题）30.甲、乙两名花样滑冰运动员M甲＝40kg，M乙＝60kg，面对面手拉手绕他们连线上某一点做匀速圆周运动，角速度均为5rad/s，如图所示。若两人相距1.5m，求：
①甲做圆周运动的半径为多大？
②乙做圆周运动的线速度为多大？
③甲对乙的拉力大小？
【答案】①0.9m；②3.0m/s；③900N。
【解析】
【详解】①甲、乙两名运动员受到的拉力提供向心力，由于相互的拉力大小相等，根据牛顿第二定律得
M甲R甲ω甲2＝M乙R乙ω乙2 ①
由于甲、乙两名运动员面对面手拉着手做圆周运动的溜冰表演，所以ω甲＝ω乙
已知两人相距1.5m，即
R甲+R乙＝1.5m
所以两人的运动半径不同
R甲＝0.9m
R乙＝0.6m
②两人的角速相同，ω甲＝ω乙＝5rad/s。根据线速度v＝ωr得乙的线速度是
v乙＝ωR乙＝5×0.6m/s＝3.0m/s
③甲对乙的拉力提供乙的向心力
F＝m乙ω2R乙＝60×52×0.6N＝900N。
16.（河北省石家庄实验中学2019-2020学年高一下学期3月物理试题）18.如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC 和BC 的结点C系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时，，。ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，求：
(1)哪根绳最先被拉断，被拉断时的线速度v1；
(2)另一根绳被拉断时的速度v2。（已知，，）
【答案】(1)BC先断，；(2)
【解析】
【详解】(1)当绳子拉直时，线速度再增大时，不变，而增大，所以BC绳先断，当时，根据向心力公式得
解得
(2)当BC线断后，小球线速度继续增大，当时，AC也断。设此时AC线与竖直方向夹角，则有
代入数据解得
，6.2 向心力的分析和向心力公式的应用
【学习目标】
1．理解向心力的概念。
2．知道向心力与哪些因素有关，理解公式的确切含义并能用来计算。
3．能够应用向心力公式求解圆周运动的问题。
【学习重点】
1．理解向心力的概念。
2．理解牛顿第二定律在圆周运动上的应用，会确定轨道平面、圆心及向心力。
【学习难点】
向心力的确定和运用向心力的知识解释有关现象。
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫作向心力。
2．方向：始终沿着半径指向圆心，方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
3．表达式
(1)Fn＝(2)Fn＝
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
4.效果力：
（1）向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
（2）由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
（3）向心力的来源：物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
二、
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动的合力产生两个方向的效果。
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度描述速度方向改变的快慢。
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。
3.匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。
4.匀速圆周运动问题的解题模型
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据力的性质命名的．( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心．( × )
2．一辆质量为1 000 kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r＝50 m的圆，以10 m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.
答案 侧向摩擦力 2 000
知识点一、向心力的来源分析和计算
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝m2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力；在非匀速圆周运动中，由沿半径方向的合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【经典例题1】如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
【变式训练1】在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2
知识点二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果．
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解．
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
【经典例题1】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
【变式训练1】如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是( )
一、单项选择题
1.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.杂技表演中的水流星，能使水碗中的水在竖直平面内做半径为 r 的圆周运动。欲使水碗运动到最高点处而水不流出，碗的线速度 v 或周期 T 应满足的条件是（重力加速度为g）（ ）
A. v0 B. C. D.
2.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）7.如图所示，一圆筒绕中心轴OO′以角速度ω匀速转动，小物块紧贴在竖直圆筒的内壁上，相对于圆筒静止。此时，小物块受圆筒壁的弹力大小为F，摩擦力大小为f。当圆筒以角速度2ω匀速转动时（小物块相对于圆筒静止），小物块受圆筒壁的（ ）
A. 摩擦力大小变为4f
B. 摩擦力大小变为2f
C. 弹力大小变为4F
D. 弹力大小变为8F
3.（北京市顺义区四中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）10.如图所示，将红、绿两种颜色石子放在水平圆盘上，距圆盘中的距离不同，有d红A. 重力和支持力 B. 重力、支持力和向心力
C. 重力、支持力和指向圆心的摩擦力 D. 重力、支持力和沿切线方向的摩擦力
4.（河北省滦南县第一中学2019-2020学年高一下学期期中物理试题）9.日常生活中可以利用离心运动甩干衣物上的水分，如图已知甩干桶直径为0.5m，工作时转速为r/s，则甩干过程中衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为（g=10m/s2）（ ）
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
5.（河北省唐山市第十一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端O做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A. 只受重力和支持力的作用
B. 只受重力和向心力的作用
C. 只受重力、支持力和拉力的作用
D. 只受重力、支持力、拉力和向心力的作用
6.（河北省邢台市四校2019-2020学年高一（下）期中联考物理试题）3.在水平面上，小孩拉着雪橇做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 雪橇受到的滑动摩擦力方向始终与圆周运动的切线方向相反
B. 雪橇受到的滑动摩擦力方向始终指向圆心
C. 雪橇受到的拉力方向始终指向圆心
D. 雪橇受到的合力始终不变
7.（辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，转台上固定有一长为4L的水平光滑细杆，两个中心有孔的小球A、B从细杆穿过并用原长为L的轻弹簧连接起来，小球A、B的质量分别为3m、2m。竖直转轴处于转台及细杆的中心轴线上，当转台绕转轴匀速转动时（ ）
A. 小球A、B受到的向心力之比为3：2
B. 当轻弹簧长度变为2L时，小球A做圆周运动的半径为1.5L
C. 当轻弹簧长度变为3L时，转台转动的角速度为ω，则弹簧的劲度系数为1.8mω
D. 如果角速度逐渐增大，小球A先接触转台边沿
8.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）
7.日常生活中可以利用离心运动甩干衣物上的水分，如图已知甩干桶直径为0.5m，工作时转速为r/s，则甩干过程中衣物和桶壁之间的弹力与衣物所受重力的比值为（g=10m/s2）（ ）
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
二、多项选择题
9.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）17.应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。关于苹果从最高点c到最右侧点d运动的过程，下列说法中正确的是
A. 苹果先处于超重状态后处于失重状态
B. 手掌对苹果的摩擦力越来越大
C. 手掌对苹果的支持力越来越大
D. 苹果所受的合外力越来越大
10.（河北省邯郸永年县第二中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（ ）
A. l、ω不变，m越大，线越易被拉断
B. m、ω不变，l越小，线越易被拉断
C. m、l不变，ω越大，线越易被拉断
D. m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
11.（山东省青岛市第十七中学2019-2020高一（下）期中考试物理试题）12.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. a绳的张力不可能为零
B. a绳的张力随角速度的增大而增大
C. 当角速度，b绳将出现弹力
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
12.（河北省石家庄精英中学2019-2020学年高一下学期第一次调研考试物理试题）24.如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α＞β。则（ ）
A. 当B的摩擦力为零时，角速度为ωB＝
B. 若A不受摩擦力，则整体转动的角速度为：ωA＝
C. A、B受到的摩擦力可能同时为零
D. 若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
三、计算题
13.（山东省济宁市第二中学2019-2020学年高一下学期第一次线上检测（实验班）物理试题）16.如图所示，装置BOO′可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球与两细线AB、AC连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量为m，细线AC长为l，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。求：
(1)当装置处于静止状态时，细线AB的拉力和AC的拉力的大小；
(2)当细线AB拉力大小等于小球重力的一半时，该装置绕OO′轴转动的角速度的大小；
(3)当细线AB的拉力为零时，该装置绕OO′轴转动的角速度的最小值。
14.（湖南长沙明德中学2019-2020学年高一下学期第五次阶段测试物理试题）19.如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为37°与53°，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，问：当角速度为4rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
15.（河北省石家庄精英中学2019-2020学年高一下学期第一次调研考试物理试题）30.甲、乙两名花样滑冰运动员M甲＝40kg，M乙＝60kg，面对面手拉手绕他们连线上某一点做匀速圆周运动，角速度均为5rad/s，如图所示。若两人相距1.5m，求：
①甲做圆周运动的半径为多大？
②乙做圆周运动的线速度为多大？
③甲对乙的拉力大小？
16.（河北省石家庄实验中学2019-2020学年高一下学期3月物理试题）18.如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC 和BC 的结点C系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时，，。ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，求：
(1)哪根绳最先被拉断，被拉断时的线速度v1；
(2)另一根绳被拉断时的速度v2。（已知，，）
