2022年华东师大版八年级下册数学17.1 变量与函数教案

变量与函数
【教学目标】
1．掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制。
2．掌握根据函数自变量的值求对应的函数值。
【教学重难点】
1．使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
2．联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法。
【教学过程】
一、创设情境
问题1：
（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？
（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式。
解：
如图能发现涂黑的格子成一条直线。
函数关系式：y＝10－x。
问题2：试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式。
解：y与x的函数关系式：y＝180－2x。
问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式。
解：y与x的函数关系式：。
二、探究归纳
思考：
（1）在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。
（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析：
问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围。
问题2，因为三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°。
问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm。
解：
（1）问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9；
问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；
问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10。
（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4。
上面例子中的函数，都是利用解析法表示的，又例如：s＝60t， S＝πR2。
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义。例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0。
对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是
y＝5× (30－5)＝5×25＝125。
125叫做这个函数当x＝5时的函数值。
三、实践应用
例1：求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7； （3）； （4）。
分析：用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值。例如，在（1），（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，x＝－2时，没有意义；在（4）中，x＜2时，没有意义。
解：
（1）x取值范围是任意实数；
（2）x取值范围是任意实数；
（3）x的取值范围是x≠－2；
（4）x的取值范围是x≥2。
归纳：四个小题代表三类题型。（1），（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。
例2：分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；
（3）在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环。设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式。
解：
（1） y＝0.50x，x可取任意正数；
（2），x可取任意正数；
（3）S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10。
例3：在上面的问题（3）中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
解：设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为：
当x＝1时，
所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是cm2。
例4：求下列函数当x = 2时的函数值：
（1）y = 2x-5 ；　　　 （2）y =－3x2 ；
（3）；　　　 （4）。
分析：函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值。
解：
（1）当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
（2）当x = 2时，y =－3×22 =－12；
（3）当x = 2时，y == 2；
（4）当x = 2时，y == 0。
四、交流反思
1．求函数自变量取值范围的两个依据：
（1）要使函数的解析式有意义。
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
2．求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值。
【作业布置】
1．分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
（1）一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm。求y和x间的关系式；
（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
（3）矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积。
2．求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝－2x－5x2； （3） y＝x(x＋3)；
（3）； （4）。
3．一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4．当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
（1） y＝(x+1)(x－2)；（2）y＝2x2－3x＋2； （3）。
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