2022年人教版八年级数学 下册19.2.2 一次函数 第1课时 一次函数的概念和性质 课件（共44张）

(共42张PPT)
k＞0
k＜0
x
y
0
x
y
0
一、三象限
二、四象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
图像必经过（0，0）和（1，k）这两个点
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图像和性质
k的正负性
y=kx(k是常数，
k≠0)的图像
直线y=kx经过
的象限
性质
图像必经过的点
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
温故知新
19.2.2　一次函数
人教版八年级数学 下册
第1课进 一次函数的概念和性质
1．探究一次函数的概念。
2. 能结合实际问题中的数量关系求出一次函数的解析式；
3.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。
　
学习目标：
认真阅读课本的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
目标导学一：一次函数的概念
下列问题中的变量对应关系可用怎样的函数表示？
（1）有人发现，在20-25 ℃的蟋蟀每分钟名叫次数c与温度t（单位：℃ ）有关即c的值约是t的七倍与35的差；
解： c=7t-35
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值；
解：G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分钟的计时费按0.01元/分钟收取；
解：y=0.01x+22
（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化．
解：y=-5x+50
观察与发现
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 常数 自变量 函数
（1）c=7t-35 （2）G=h-105 （3）y=0.01x+22 （4）y=-5x+50 这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数和自变量的乘积与另一个常数的和的形式！
7，-35
t
c
1，-105
h
G
0.01，22
x
y
-5，50
x
y
特别地，
当b=0时，一次函数y=kx(常数K≠ 0），
也叫做正比例函数，
正比例函数是一次函数的特殊形式！
一次函数：若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，
k ≠ 0）的形式，则称 y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量。）
k≠0，那b呢？
1.下列函数中哪些是一次函数？
(1) y=-0.2x+3
(2) y=2x +1
(3) y =x-2
(4) y= x+1
(5)
√
√
即学即练
2.下列函数中是一次函数的有哪些 并说出 k 和b的值 .
　解 : 是一次函数的有(1) , 其中k= - , b=0 ;
有(4) , 其中k=2.5 , b=-0.3 ;
有(6) , 其中k= , b= - .
即学即练
思考：
一次函数 y=kx+b（k≠0）中的b可以为零吗？当 b= 0 时， y=kx+b（k≠0）变成了什么函数？
当 b= 0 时，y=kx+b 就变成了正比例函数 y=kx ( k≠0 ).
那么一次函数与正比例函数有什么关系呢？
。。。。。。。。
归纳：
一次函数
正比例函数
特殊化
都是
(1)
(2)
一次函数
正比例函数
一次函数的应用
问题2 某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用函数解析式表示y 与x 的关系.
解：（1）原大本营所在地气温为: ___，
5℃
6x℃
y=5-6x
因此y与x的函数解析式为：
（2）当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温为: .
2℃
当海拔增加xkm时，气温减少 ____ ；
y＝3x－9
(2) y是x的一次函数．
y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
解: (1) 设 y＝k(x－3)
把 x＝4,y＝3 代入上式,得 3＝ k(4－3)
解得 k＝3
(3) 当x＝2.5时
例1 已知y与x－3成正比例,当x＝4时,y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
例2、一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm.求弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式.
解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，
∴弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式为 y=12+2x
所有的正比例函数都是一次函数．
所有的一次函数都是正比例函数．
1.判断题：
即学即练
2、下列函数中，不是一次函数的（ ）
B.
C. D.
C
即学即练
认真阅读课本的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
目标导学二：一次函数图像与性质
正比例函数
解析式 y =kx（k≠0）
性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
一次函数
解析式 y =kx+b（k≠0）
　　针对函数 y =kx+b，大家想研究什么？应该怎样研究？
图象：经过原点和
（1，k）的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
？
？
目标导学二：一次函数图像与性质
　　研究函数 y =kx+b（k≠0）的性质；
　　研究方法：
　　画图象→观察图象→变量（坐标）意义解释．
合作探究
y
-4
-2
-3
-1
3
2
1
-1 0
-2
-3
1
2
3
4
5
x
-4
-2
0
2
4
y=2x
x … -2 -1 0 1 2 …
y
例3 画正比例函数 y =2x 的图象
解：
1. 列表
2. 描点
3. 连线
…
…
大家想一想，既然一次函数的图像是条直线，画一条直线用得着这么多点么？
以后我们画一次函数的图像，只要找2个点就可以了，因为两点确定一条直线！
1
k
x
y
0
y= kx (k＞0)
　大家观察一下，当x=0的时候y=0说明y=kx的图像经过（0,0）。那么当x=1的时候y=？，此时y=kx的图像经过那个点么？
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。
那么以后我们在画y=kx的图像的时候，用（0,0）和（1，k）这两点来描点吧！
联系上面结果可得，
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移 个单位长度得到。(当b＞0时,向 平移;当b＜0时,向 平移。)
下
上
知识归纳
x
x
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
-1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
x
y
正撇负捺；上加下减
　　仿照正比例函数的做
法，你能看出当 k 的符号
变化时，函数的增减性怎
样变化？
　　请用简便方法画出下列一次函数的图象：
　 （1）y =x+1； 　 （2）y =3x+1；
　 （3）y =-x+1；　（4）y =-3x+1．
6
-2
-5
5
x
y
O
2
4
A
B
C
D
E
y =x+1
y =3x+1
y =-x+1
y =-3x+1
合作探究
　　 k＞0时，直线左低
右高，y 随x 的增大而增
大；
　　 k＜0时，直线左高
右低，y 随x 的增大而减
小．
　　请用简便方法画出下列一次函数的图象：
　 （1）y =x+1； 　 （2）y =3x+1；
　 （3）y =-x+1；　（4）y =-3x+1．
6
-2
-5
5
x
y
O
2
4
A
B
C
D
E
y =x+1
y =3x+1
y =-x+1
y =-3x+1
合作探究
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象
直线y=kx经过第一、三象限，
直线y=kx经过第二、四象限，
我们称它为直线y=kx.
正比例函数图象的特征及性质
是一条经过原点的直线;
当k ＞0时，
当k ＜0时，
从左向右上升,
即随着x的增大y也增大;
从左向右下降，
即随着x的增大y反而减小.
结 论
正比例函数
正比例函数
一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0) 的图像和性质
k的正负性
k＞0
k＜0
b取正、负、0
性质
画图常用
的两个点
b＞0
b＜0
b=0
b＞0
b=0
b＜0
示意图
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
图像经过的象限
一、二、三
象限
一、三
象限
一、三、四
象限
一、二、四
象限
二、四
象限
二、三、四
象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
(0,0)
(1,k)
(0,b)
(1,k+b)
(0,b)
(1,k+b)
(0,b)
(1,k+b)
(0,b)
(1,k+b)
(0,0)
(1,k)
基础知识
正比
例函
数
一次函数
y=kx+b
(k≠0)
当b=0时,一次函数变为正比例函数。也就是说;正比例函数是一次函数的特殊情况
(0,0)
(1,k)
(- ,0)
(0,b)
k>0
一.三
二.四
一.二.三
一.三.四
一.二.四
二.三.四
当k>0,
Y随x的增大而增大.
当k<0,
Y随x的增大而减小.
y=kx (k≠0)
函数 解析式 关系 图象画法 k 、b 符号 草图 所过 象限 性质
k<0
k>0
b>0
k>0
b<0
k<0
b>0
k<0
b<0
我们先通过观察发现 的规律，再根据这些规律得出关于 的性质，这种研究的方法叫做数形结合法.
图像（形）
数值大小
知识归纳
例4 已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值。
解：∵ y与x－1成正比例 ∴y=k（x-1）
∵ 当x=8时，y=6 ∴7k=6 ∴
∴ y与x之间函数关系式是：y= （x-1）
当x=4时，y= ×（4－1）=
当x=-3时，y= ×（-3－1）=
即学即练：
1.判断下列各图中的函数k、b的符号.
0
k > 0
b >0
k < 0
b >0
k > 0
b < 0
0
0
2.若一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
则 k、b应满足（ ）
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
B
即学即练：
y=kx+b（k≠0）
y=kx（k≠0）
图象
平移
　 k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大；
　 k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小．
两点法画一
次函数图象
　　研究方法：
画图象箭头→观察图象→变量（坐标）意义解释．
课堂小结
1.下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（ ）
A.路程一定是，时间y与速度x的关系
B.长10m的铁丝折成长为ym,宽为xm的长方形
C.圆的面积y与它的半径x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
B
检测目标
B
2. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A. m=1
B. m＞1
C. m＜1
D. m≥1
检测目标
3、下列说法正确的是（ ）
A. 是一次函数
B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数是一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
C
检测目标
4.已知 是一次函数，则m的值是（ ）
A.-3 B.3 C.±3 D.±2
A
检测目标
5、下列一次函数中，ｙ随着ｘ的增大而减小的是（　　　）
Ｃ
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点