§ 1.1 周期变化导学案
聚焦知识目标
1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．
数学素养
1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.
环节一 情境导入
同学们：看看大海，可以陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
生活中的周期现象
再比如，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江湖的图片，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）
什么是周期现象
周期现象
(1)以相同___ __重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会
__ _______,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象.
思考
1.下列变化中，不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
2.下列变化是周期现象的是(A)
A.地球自转引起的昼夜交替变化
B.某同学每天做作业的时间
C.某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数
D.某同学每天打电话的时间
说明
判断某种现象是不是周期现象，主要根据周期现象的两个重要特征，可结合以下几种形式加以判断：
(1)根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断；
(2)将问题涉及的变量的值列在表格中分析判断；
(3)将问题涉及的数据用散点图表示出来观察判断.
环节二 周期函数
从课本问题导入
讨论函数 的图象和性质
提炼
能从图得到函数f(x)=(-1)[x]的哪些性质 显然，对任意一个实数x、每增加2的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的，函数f(x)= (-1)[x] 的变化是周期期性的.
函数周期性
周期函数定义
(1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的
x∈D,都有__ _____且满足f(x+T)=_ ____,那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数,
非零常数T称作这个函数的周期.
(2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个
最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指
周期均为函数的最小正周期.
环节三 周期现象和周期性的判断
1.根据数据判断周期现象
例1.我们的心跳都是有节奏、有规律的，当心脏跳动时，血压在增加或减小，下表是某人在一分钟内血压P与时间t的对应关系表，通过表中数据来研究压变化的规律.
t/s 5 10 15 20 25 30
P/mmHg 93. 35 136. 65 115 93. 35 136. 65 115
t/s 35 40 45 50 55 60
P/mmHg 93. 35 136. 65 115 93. 35 136. 65 115
(1)根据上表提供的数据，在平面直角坐标系中出血压P与时间t的关系的图像；（2）试说明血压变化规律
2.根据图像判断周期函数
例2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变化是否是重复进行的
3.根据周期定义判断周期函数
例3. (1)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？
(2)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝"1" /"f(x)" ，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？
函数周期性的常用结论
具有周期性的抽象函数:
函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数),
①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;
②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
③f(x+a)=± ,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数
环节四 周期性的应用
例4.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题:
(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗
(2)若是周期变化,其振动的周期是多少
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少
例5.已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,则f(4.5)的值为( )
A.2 B.-1 C.- D.1
例6.已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)= ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
环节五学习与反思
1.下列是周期现象的为 ( )
①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;
②某超市每天的营业额;
③某地每年6月份的平均降雨量.
A.①③ B.②③ C.① D.①②
2.把 化成小数,小数点后第20位是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,
则f () =______.
4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________s.
课堂小结
1．核心要点
1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．
2．数学素养
1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.§ 1.1 周期变化教案
聚焦知识目标
1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．
数学素养
1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.
环节一 情境导入
同学们：看看大海，可以陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
生活中的周期现象
再比如，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江湖的图片，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）
什么是周期现象
周期现象
(1)以相同___间隔__重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会
__重复出现_______,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象.
思考
1.下列变化中，不是周期现象的是( D )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
2.下列变化是周期现象的是(A)
A.地球自转引起的昼夜交替变化
B.某同学每天做作业的时间
C.某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数
D.某同学每天打电话的时间
说明
判断某种现象是不是周期现象，主要根据周期现象的两个重要特征，可结合以下几种形式加以判断：
(1)根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断；
(2)将问题涉及的变量的值列在表格中分析判断；
(3)将问题涉及的数据用散点图表示出来观察判断.
环节二 周期函数
从课本问题导入
讨论函数 的图象和性质
分析在“函数”一章，已经学习了函数y=[x]，对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数.根据初中学习的幂运算，可以推出：当[x]为偶数f当[x] 为奇数时，函数
提炼
能从图得到函数f(x)=(-1)[x]的哪些性质 显然，对任意一个实数x、每增加2的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的，函数f(x)= (-1)[x] 的变化是周期期性的.
函数周期性
周期函数定义
(1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的
x∈D,都有__x+T∈D_____且满足f(x+T)=_ f(x)____,那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数,
非零常数T称作这个函数的周期.
(2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个
最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指
周期均为函数的最小正周期.
环节三 周期现象和周期性的判断
1.根据数据判断周期现象
例1.我们的心跳都是有节奏、有规律的，当心脏跳动时，血压在增加或减小，下表是某人在一分钟内血压P与时间t的对应关系表，通过表中数据来研究压变化的规律.
t/s 5 10 15 20 25 30
P/mmHg 93. 35 136. 65 115 93. 35 136. 65 115
t/s 35 40 45 50 55 60
P/mmHg 93. 35 136. 65 115 93. 35 136. 65 115
(1)根据上表提供的数据，在平面直角坐标系中出血压P与时间t的关系的图像；（2）试说明血压变化规律
分析
根据表格中的数据准确画出图像，并观察每经过相同的时间间隔，血压会不会出现相同的数值
解：(1)血压P与时间t的关系的图像如图
(2)从图像可以看出，每经过相同的时间间隔T(15s)，血压就会重复相同的数值，因此人血压呈周期性变化的
2.根据图像判断周期函数
例2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变化是否是重复进行的.
【解析】选D.结合周期函数的定义可知,A,B,C均为周期函数,D不是周期函数.
3.根据周期定义判断周期函数
例3. (1)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？
(2)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝"1" /"f(x)" ，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？
解：由已知得，f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数．
由已知得，f(x＋2a)＝＝＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数．
函数周期性的常用结论
具有周期性的抽象函数:
函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数),
①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;
②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
③f(x+a)=± /"f(x)" ,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数
环节四 周期性的应用
例4.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题:
(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗
(2)若是周期变化,其振动的周期是多少
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少
【解析】(1)观察图象可知,图象从t=0.8 s开始重复,所以单摆的振动是周期变化;
(2)振动的周期为0.8 s;
(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm,所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.
例5.已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,则f(4.5)的值为( )
A.2 B.-1 C.- D.1
选D.因为f(x)的周期为2,所以f(4.5)=
f(0.5);又因为当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,
所以f(4.5)=f(0.5)=40.5-1=1.
例6.已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)= ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1),据此可得f(x)=f(x+2),即
函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,据此可知f(10)=f(10-2×4)
=f(2)=-1.
环节五学习与反思
1.下列是周期现象的为 ( )
①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;
②某超市每天的营业额;
③某地每年6月份的平均降雨量.
A.①③ B.②③ C.① D.①②
【解析】选C.①是周期现象;②中每天的营业额是随机的,不是周期现象;③中每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象.
2.把 化成小数,小数点后第20位是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C. =0. 42 85 ,小数点后“142857”呈周期性变化且周期为6.
因为20=3×6+2,所以第20位为4.
3.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,
则f () =______.
因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以
又因为x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,所以
4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________s.
质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．
课堂小结
1．核心要点
1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．
2．数学素养
1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.
