《§ 1.2. 1角的概念推广》习题课导学案（学生版）
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聚焦知识目标
1.理解正角、负角和零角的概念
2.掌握象限角的特征及其表示方法.
3.理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角的集合
思维导图
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1.角的概念推广
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的 ，射线OA是角α的 、射线OB是角α的 .
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线按＿＿＿＿＿＿形成的角
负角 一条射线按＿＿＿＿＿形成的角
零角 一条射线＿＿＿＿＿形成的角
【微练】
1.将分针拨慢5分钟，则分针转过的角度是
A.60 ° B.-60° C.30° D.-30 °
答：1.C将分针拨慢5分钟，就是将分针按逆时针方向旋转30°，即分针转过的角度为30°，故选C.
2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴非负半轴的夹角为30°，则α的值为()
2.答：D由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，α=480°.
3.下列命题中正确的是()
A.终边相同的角一定相等
B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
答：3.C.-60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，故A错误；三角形的内角可以为90°，90°角不是第一、二象限角，故B错误；负角和零角小于90°，但它们都不是锐角，故D错误；只有C正确.
4.把角-99°的终边旋转到首次与角99°的终边重合，求旋转的度数.
答：4.解析若按逆时针方向旋转，设旋转的角度为α，则-99°+α=99°，可得α=198°；
若按顺时针方向旋转，设旋转的角度为β由于顺时针方向旋转，角度越来越小、所以-99°-β=-360°+99°，可得β=162°.
综上，当把角-99°的终边逆时针旋转198°或顺时针旋转162°时，将首次与角99°的终边重合.
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终边相同的角
一般地，给定一个角α所有与角α终边相同的角，连同 在内，可构成一个集合S= ，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的 的和.
【注意点】
集合S={β|β=α+k 360°,k∈Z}要注意以下几点
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k 360°与a之间是“+”，如k360°-30°应看成k360°+(-30°)，即与-30°角终边相同；
题组一 具体角
1.与2021°角终边相同的角()
A.-111° B.-70° C.141° D.221°
答：D根据终边相同的角的定义知，与2021°角终边相同的角可以写成2021°+k·360°，k∈Z的形式.分别令2021°+k·360°=-111°,2021°+k·360°=-70°,2021°+k·360°=141°，此时k都无整数解，令2021°+k·360°=221°，解得k=-5，满足题意.
2.如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ-45°的终边相同，那么α－β可能为()
A.270° B.360°
C.450° D.2330°
答：C因为角α与角γ+45°的终边相同，所以 = +45+ _1 360, _1∈ ,
同理， = 45+ _2 360, _2∈ ,
所以 =90+( _1 _2 ) 360,
故α-β=90°+n·360°，n∈Z，当n=1时，α-β=450°，故C正确；
3.在与角-2022°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)β是最小的正角；
(2)β是最大的负角；
(3)-720°≤β<720°.
答：由(1)可知与角-2022°终边相同的角与角138°的终边也相同，由-720°≤k·360°+138°<720°(k∈Z)，可得k=-2，-1，0，1，分别代入β=k·360°+138°，可得满足题意的角β有-582°，-222°，138°，498°.
题组二 描述性角
1.与600°角终边相同的角可表示为()
A.k·360°+220°(k∈Z)
B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z)
D.k·360°+260°(k∈ Z)
答：：B与600°角终边相同的角可表示为k， 360+600°= 360°+360°+240°=(k+1)·360°+240°，k∈Z.故选B.
题组三 射线角与直线角
1.已知点P(0，-1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S=_。
答案：{a|a=270°+k·360°，k∈Z}
解析由题意得点P在y轴的负半轴上，因为270°角的终边是y轴的非正半轴，所以S={a|a=270°+k·360°,k∈Z}.
2. 如图，写出终边落在直线上的角的集合.
解析(1)终边落在射线 = √3 ( ≥0)上的角的集合s={ │ =300°+k 360°,k ∈Z},
终边落在射线 = √3 ( ≤0)s={ │ =120°+k 360°,k ∈Z}
终边落在直线 = √3 上的角的集合为{ ∣ =120+ 180,n∈Z}.
(2)由题意得，满足条件的角的集合S=|α|α= 60+ 180°,k∈Z}U{α|α=150°+k·180°,k∈Z}={α|α=60°+2k·90°,k∈Z}U|α|α=60°+(2k+1)·90°,k=Z}={a|α=60°+n·90°,n∈Z}.
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象限角
如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的 （除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 任何一个象限.
【注意点】
1.在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.
2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限.叫轴线角
题组一 单角判断
1.若α=45°+k·180°(k∈Z)，则α的终边在()
A.第一或第三象限
B.第二或第三象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
答：A当k=2n，n∈Z时，α=45°+n·360°(n∈z)
α在终边在第一象限；当k=2n+1、n ∈Z时.a=225°+n·360°(n∈Z).α的终边在第三象限.
2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的终边都在( )
A.x轴非负半轴上
B.y轴非负半轴上
C.x轴或y轴上
D.x轴非负半轴或y轴非负半轴上
解析：当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°;当k=4n+1(n∈Z)时,α=90°+n·360°;当k=4n+2(n∈Z)时,α=180°+n·360°;当k=4n+3(n∈Z)时,α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的终边都在x轴或y轴上.
答案C
题组二 和差角
1.若α是第四象限()角，则180°-α是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答：C若α是第四象限角，则-α是第一象限角.180°-α是第三象限角，故选C.
题组三 倍角
1.若α是第四象限()角，则2α是
A.第一、二象限角
B.第二、三象限角
C.第三、四象限角
D.以上都不对
答：2kπ π/2<α<2kπ,k∈z，4kπ π<2α<4kπ,k∈z，2α在三四象限
或y轴负半轴，选D.
题组四 半角
1.已知α为第三象限角，则 /2的终边所在的象限是()
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
答：D由题意得， 360°+180°< < 360°+270°，k∈Z、则 /2 360°+90°< /2< /2.360°+135°, ∈ .当k=2n，n∈Z时， 360°+90°< /2< .360°+135°, ∈ , /2为第二象限角
当k=2n+1.n∈Z时、 360°+270°< /2< 360°+315°,n∈Z.为第四象限角故选D.
题组五 直线角
1.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内（不包括边界），写出角α的集合.
解析：在0°~360°范围内，终边落在阴影部分内的角α满足30°<α<150°与210°<α<330°，所有满足题意的角α的集合为{a|k·360°+30°< < 360°+150°、k∈ Z}U{a|k·360°+210° < < ·360° +330°. k∈ Z}={α|n·180°+30°<α题组六 射线角
2.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是
解析：在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k·360°<α<150°+k·360°(k∈Z).
答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}《§ 1.2. 1角的概念推广》习题课导学案（教师版）
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聚焦知识目标
1.理解正角、负角和零角的概念
2.掌握象限角的特征及其表示方法.
3.理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角的集合
思维导图
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1.角的概念推广
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边、射线OB是角α的终边.
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线按＿＿＿逆时针＿＿＿形成的角
负角 一条射线按＿＿顺时针＿＿＿形成的角
零角 一条射线＿＿不旋转＿＿＿形成的角
【微练】
1.将分针拨慢5分钟，则分针转过的角度是
A.60 ° B.-60° C.30° D.-30 °
答：1.C将分针拨慢5分钟，就是将分针按逆时针方向旋转30°，即分针转过的角度为30°，故选C.
2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴非负半轴的夹角为30°，则α的值为()
答：2.D由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，α=480°.
3.下列命题中正确的是()
A.终边相同的角一定相等
B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
答：3.C.-60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，故A错误；三角形的内角可以为90°，90°角不是第一、二象限角，故B错误；负角和零角小于90°，但它们都不是锐角，故D错误；只有C正确.
4.把角-99°的终边旋转到首次与角99°的终边重合，求旋转的度数.
答：4.解析若按逆时针方向旋转，设旋转的角度为α，则-99°+α=99°，可得α=198°；
若按顺时针方向旋转，设旋转的角度为β由于顺时针方向旋转，角度越来越小、所以-99°-β=-360°+99°，可得β=162°.
综上，当把角-99°的终边逆时针旋转198°或顺时针旋转162°时，将首次与角99°的终边重合.
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终边相同的角
一般地，给定一个角α所有与角α终边相同的角，连同 角α 在内，可构成一个集合S={B|β=α+k360°、k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
【注意点】
集合S={β|β=α+k 360°,k∈Z}要注意以下几点
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k 360°与a之间是“+”，如k360°-30°应看成k360°+(-30°)，即与-30°角终边相同；
题组一 具体角
1.与2021°角终边相同的角()
A.-111° B.-70° C.141° D.221°
答：D根据终边相同的角的定义知，与2021°角终边相同的角可以写成2021°+k·360°，k∈Z的形式.分别令2021°+k·360°=-111°,2021°+k·360°=-70°,2021°+k·360°=141°，此时k都无整数解，令2021°+k·360°=221°，解得k=-5，满足题意.
2.如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ-45°的终边相同，那么α－β可能为()
A.270° B.360°
C.450° D.2330°
答：C因为角α与角γ+45°的终边相同，所以 = +45+ _1 360, _1∈ ,
同理， = 45+ _2 360, _2∈ ,
所以 =90+( _1 _2 ) 360,
故α-β=90°+n·360°，n∈Z，当n=1时，α-β=450°，故C正确；
3.在与角-2022°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)β是最小的正角；
(2)β是最大的负角；
(3)-720°≤β<720°.
答：由(1)可知与角-2022°终边相同的角与角138°的终边也相同，由-720°≤k·360°+138°<720°(k∈Z)，可得k=-2，-1，0，1，分别代入β=k·360°+138°，可得满足题意的角β有-582°，-222°，138°，498°.
题组二 描述性角
1.与600°角终边相同的角可表示为()
A.k·360°+220°(k∈Z)
B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z)
D.k·360°+260°(k∈ Z)
答：B与600°角终边相同的角可表示为k， 360+600°= 360°+360°+240°=(k+1)·360°+240°，k∈Z.故选B.
题组三 射线角与直线角
1.已知点P(0，-1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S=_。
答案：{a|a=270°+k·360°，k∈Z}
解析由题意得点P在y轴的负半轴上，因为270°角的终边是y轴的非正半轴，所以S={a|a=270°+k·360°,k∈Z}.
2. 如图，写出终边落在直线上的角的集合.
解析(1)终边落在射线 = √3 ( ≥0)上的角的集合s={ │ =300°+k 360°,k ∈Z},
终边落在射线 = √3 ( ≤0)s={ │ =120°+k 360°,k ∈Z}
终边落在直线 = √3 上的角的集合为{ ∣ =120+ 180,n∈Z}.
(2)由题意得，满足条件的角的集合S=|α|α= 60+ 180°,k∈Z}U{α|α=150°+k·180°,k∈Z}={α|α=60°+2k·90°,k∈Z}U|α|α=60°+(2k+1)·90°,k=Z}={a|α=60°+n·90°,n∈Z}.
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象限角
如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
【注意点】
1.在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.
2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限.叫轴线角
题组一 单角判断
1.若α=45°+k·180°(k∈Z)，则α的终边在()
A.第一或第三象限
B.第二或第三象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
答：A当k=2n，n∈Z时，α=45°+n·360°(n∈z)
α在终边在第一象限；当k=2n+1、n ∈Z时.a=225°+n·360°(n∈Z).α的终边在第三象限.
2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的终边都在( )
A.x轴非负半轴上
B.y轴非负半轴上
C.x轴或y轴上
D.x轴非负半轴或y轴非负半轴上
解析：当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°;当k=4n+1(n∈Z)时,α=90°+n·360°;当k=4n+2(n∈Z)时,α=180°+n·360°;当k=4n+3(n∈Z)时,α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的终边都在x轴或y轴上.
答案C
题组二 和差角
1.若α是第四象限()角，则180°-α是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答：C若α是第四象限角，则-α是第一象限角.180°-α是第三象限角，故选C.
题组三 倍角
1.若α是第四象限()角，则2α是
A.第一、二象限角
B.第二、三象限角
C.第三、四象限角
D.以上都不对
答：2kπ π/2<α<2kπ,k∈z，4kπ π<2α<4kπ,k∈z，2α在三四象限
或y轴负半轴，选D.
题组四 半角
1.已知α为第三象限角，则 /2的终边所在的象限是()
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
答：D由题意得， 360°+180°< < 360°+270°，k∈Z、则 /2 360°+90°< /2< /2.360°+135°, ∈ .当k=2n，n∈Z时， 360°+90°< /2< .360°+135°, ∈ , /2为第二象限角
当k=2n+1.n∈Z时、 360°+270°< /2< 360°+315°,n∈Z.为第四象限角故选D.
题组五 直线角
1.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内（不包括边界），写出角α的集合.
解析在0°~360°范围内，终边落在阴影部分内的角α满足30°<α<150°与210°<α<330°，所有满足题意的角α的集合为{a|k·360°+30°< < 360°+150°、k∈ Z}U{a|k·360°+210° < < ·360° +330°. k∈ Z}={α|n·180°+30°<α题组六 射线角
2.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是
解析：在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k·360°<α<150°+k·360°(k∈Z).
答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}
